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扭矩精度西格玛与Cmk Cpk的关系研究
黄飞鸿
（宁波安德路工业自动化设备有限公司）
摘要：
随着日益规范化的设备使用过载中，对精度的标注更加规范化，以西格玛和精度范围作为精度的标准，从而衍生出满足精度标准的Cmk和Cpk的规律和计算方式的推算。以下内容以深圳艾而特工业自动化设备有限公司的ACT型螺丝刀作为范例进行演示。
关键词：精度；Cmk；Cpk；西格玛；
1 总结性描述
1.1背景
1.目前螺丝刀的进度在3西格玛±5%的精度情况下，在手持螺丝刀时候，扭力的测试数据很难计算Cmk1.67，工厂经过数据挑选挑选，使得Cmk大于1.67，挑选的精度数据在2%或3%以内的，通过计算Cmk才达到1.67的要求。
1.2原因分析
1.螺丝刀的精度不能满足当前Cmk的计算公式，精度的上下需要更换。
1.3解决方案
1.进行西格玛标准进行目前螺丝刀Cmk的公式进行正推，是否螺丝刀的Cmk能达到1.67。
2.在正态分布的模型中进行抽样对目前Cmk的公式进行反推，螺丝刀的Cmk能发达到1，67。
2 西格玛标准的定义
2.1正态分布
若随机变量 X服从一个位置参数为μ、尺度参数为σ的概率分布，且其概率密度函数为
![VU]X7PSX1L7DETJ__5SVAO.png](https://www.6sq.net/uploads/article/20220920/2a9650149094b22d2a6f27c57af2f326.png "VU]X7PSX1L7DETJ__5SVAO.png")
则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作X~N（μ，），读作X服从N（μ，），或X服从正态分布。
2.2标准正态分布
当μ=0，σ=1时，正态分布就成为标准正态分布
如图：
![S]8@_PQN_{_0R8}K6U8K@7.png](https://www.6sq.net/uploads/article/20220920/3e0606b2c3abaf89aab4c2404e0144a3.png "S]8@_PQN_{_0R8}K6U8K@7.png")
2.3正态函数的面积分布与西格玛的关系
正态函数的不定积分是一个非初等函数，称为误差函数
x（μ-σ，μ+σ），表示在一个西格玛的概率为0.682689492137，690,000失误/百万机会。
x（μ-2σ，μ+2σ），表示在两个西格玛的概率为0.954499736104，308,000失误/百万机会。
x（μ-3σ，μ+3σ），表示在三个西格玛的概率为0.997300203937，66,800失误/百万机会。
x（μ-4σ，μ+4σ），表示在四个西格玛的概率为0.999936657516，6,210失误/百万机会。
x（μ-5σ，μ+5σ），表示在五个西格玛的概率为0.999999426697，230失误/百万机会。
x（μ-6σ，μ+6σ），表示在六个西格玛的概率为0.999999998027，3.4失误/百万机会。
3 Cmk与Cpk的定义与关系
3.1Cpk与Cmk的定义
在说明Cmk计算方法之前，先阐述Cpk(potentialprocess capability index，潜在的工序能力指数)和Cpk(process capability index工序能力指数)计算方法。工序是产品制造的基本环节，若在生产过程中每一道工序的加工质量都比较高，则产品的质量定能够得到保证。产品或者服务的质量是可以用规格来衡量的，在规格范围内就认为是合格的，否则就认为不合格。过程能力指数的计算就是评价和衡量过程能力的重要环节和规格，甚至成为唯一的尺度[1]。
Cpk：工序能力指数，是指工序在一定时间里，处于控制状态(稳定状态)下的实际加工能力。它是工序固有的能力，或者说它是工序保证质量的能力。1.强调的是过程固有变差和实际固有的能力；2.分析前提是数据服从正态分布，且过程受控；3.至少1.33，过程稳定受控情况下适当频率抽25组至少100个样本
Cmk：表示仅由设备普通原因变差决定的能力,1.考虑短期离散，强调设备本身因素对质量的影响；2.用于新机验收时、新产品试制时、设备大修后等情况；3至少1.67；一般在机器生产稳定后约一小时内抽样10组50样本[2]。
3.2Cpk与Cmk的关系
Cmk与Cpk不同在于取样方法不同,是在机器稳定工作时至少连续50件的数据,Cmk=T/6西格玛,西格玛即可用至少连续50件的数据s估计,又可用至少连续50件的数据分组后的Rbar/d2来估计,由于根据美国工业界的经验，过程变差的75%来自设备变差，如果用至少连续50件的数据s估计的西格玛或用至少连续50件的数据分组后的Rbar/d2估计的西格玛来计算Cpk的话,人机料法环总普通原因变差为8西格玛, Cpk=T/8西格玛.当通过理想化模型，取样数量足够时，Cpk和Cmk接近。
4用正态分布进行Cmk和Cpk的推导过程
4.1Cmk的计算公式
S：取样数据的标准差，用STDEV公式直接计算
T：公差范围，即上、下极限值之差
K:为修正系数或偏离系数
Bi：平均值Xbar和测量的理论中间值之差
Bi=[Xbar-图纸中间值-(上偏差＋下偏差)/2]
4.2Cpk的计算公式
USL：图纸上限尺寸，(中间值＋上公差)
LSL:图纸下限尺寸，(中间值＋下公差)
Xbar：每组抽样数据的平均数，然后再平均数(其实就是所有抽样数据的平均数)
Rbar：每组抽样数据的极差的平均数
d2：跟据抽样数据的多少而对应的修正系数，有表可查
4.3PPK的计算公式
S:取样数据的标准差，用STDEV公式直接计算
附注：Cmk和PPK的公式其实是一样的。西格玛和σ是同一意思。
4.4Cmk和Cpk在正态分布中的计算
由于处于积分状态，样点取数接近无穷个。在此状态下，样品标准差≈整体标准差可得：
一个西格玛标准时，Cpk=0.333333333333。
两个西格玛标准时，Cpk=0.666666666667。
三个西格玛标准时，Cpk=1。
四个西格玛标准时，Cpk=1.333333333333。
五个西格玛标准时，Cpk=1.666666666667。
六个西格玛标准时，Cpk=2。
5按照螺丝刀3σ±5%的精度进行整体分布进行100个抽样。
5.1理想情况下样本抽样表
个数 在正态分布中的扭力抽样符合螺丝的±5%+3σ的标准
1 0.523333
1 0.480833333
1 0.518333
1 0.4825
1 0.516667
1 0.484166667
1 0.515
2 0.485833333 0.514167
2 0.486666667 0.513333
2 0.4875 0.5125
3 0.488333333 0.511667 0.488333333
3 0.489166667 0.510833 0.510833333
4 0.49 0.51 0.49 0.51
4 0.490833333 0.509167 0.490833333 0.509167
5 0.491666667 0.508333 0.491666667 0.508333 0.491667
5 0.4925 0.5075 0.4925 0.5075 0.5075
5 0.493333333 0.506667 0.493333333 0.506667 0.493333
6 0.494166667 0.505833 0.494166667 0.505833 0.494167 0.505833
6 0.495 0.505 0.495 0.505 0.495 0.505
7 0.495833333 0.504167 0.495833333 0.504167 0.495833 0.504167 0.495833
7 0.496666667 0.503333 0.496666667 0.503333 0.496667 0.503333 0.496667
8 0.4975 0.5025 0.4975 0.5025 0.4975 0.5025 0.4975 0.4975
8 0.498333333 0.501667 0.498333333 0.501667 0.498333 0.501667 0.498333 0.501667
8 0.499166667 0.500833 0.499166667 0.500833 0.499167 0.500833 0.499167 0.500833
8 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
5.2 Cpk和Cmk计算
目标扭力 0.5 上限% 5 下限% 5
上限扭力 0.525 下限扭力 0.475
平均值 0.5
方差 0.00006355555556
整体标准差 0.007972174
样本标准差 0.008012336
Cmk 1.040062868
由图表可知，当扭力上下限为5%时候，螺丝无法满足Cmk=1.67的要求。
5.3 按照螺丝刀在5σ的时候进行扭力精度调整
将上下限3σ±5%延伸至5σ±8.3%。
最大扭力 0.5 上限% 8.3 下限% 8.3
目标扭力 0.5 上限扭力 0.5415 下限扭力 0.4585
平均值 0.5
方差 0.00006355555556
整体标准差 0.007972174
样本标准差 0.008012336
Cmk 1.726504361
如表格所示，螺丝刀可以满足Cmk≥1.67。
根据调试的情况不同，可以存在一定量的样本中，Cmk可以大于Cpk的情况与理想状态分离，但是正常情况下，Cmk＞1.67的时候需要Cpk＞1.33。
6总结
目前螺丝刀的精度标为3西格玛±5%的精度时和以下精度一致。
螺丝刀的精度可以标定为±1.67%的精度满足1西格玛标准，此时此时Cpk≈0.33；
螺丝刀的精度可以标定为±3.33%的精度满足2西格玛标准，此时此时Cpk≈0.67；
螺丝刀的精度可以标定为±5%的精度满足3西格玛标准，此时此时Cpk≈1；
螺丝刀的精度可以标定为±6.67%的精度满足4西格玛标准，此时此时Cpk≈1.33；
螺丝刀的精度可以标定为±8.33%的精度满足5西格玛标准，此时此时Cpk≈1.67；
螺丝刀的精度可以标定为±10%的精度满足6西格玛标准，此时此时Cpk≈2；
螺丝刀的Cmk≥1.67需要在螺丝刀4西格玛的精度标准，及Cpk≥1.33的基础上才可以调整达到要求。当设备处于非优秀调试状态下，想要让Cmk≥1.67时候，需要在螺丝刀满足5西格玛的精度标准，Cpk≥1.67的情况下才能完成。
参考文献：
[1]罗孟然,丛明,顾齐芳,李泳耀,李宏坤.基于C_(mk)分析的加工中心精度稳定性评估[J].组合机床与自动化加工技术,2015(03):149-153.DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.03.041.
[2]石枫.能力指数Ppk、Cpk、Cmk在实际工作中应用的探讨[J].电子测试,2014(20):29-31.
[3]赖涌丹.精益六西格玛在在线检测设备测量精度分析中的应用研究[J].机电工程技术,2021,50(02):186-189+223.
补充说明：可以以此为例进行其他设备的精度标准的推测和检测依据。
黄飞鸿
（宁波安德路工业自动化设备有限公司）
摘要：
随着日益规范化的设备使用过载中，对精度的标注更加规范化，以西格玛和精度范围作为精度的标准，从而衍生出满足精度标准的Cmk和Cpk的规律和计算方式的推算。以下内容以深圳艾而特工业自动化设备有限公司的ACT型螺丝刀作为范例进行演示。
关键词：精度；Cmk；Cpk；西格玛；
1 总结性描述
1.1背景
1.目前螺丝刀的进度在3西格玛±5%的精度情况下，在手持螺丝刀时候，扭力的测试数据很难计算Cmk1.67，工厂经过数据挑选挑选，使得Cmk大于1.67，挑选的精度数据在2%或3%以内的，通过计算Cmk才达到1.67的要求。
1.2原因分析
1.螺丝刀的精度不能满足当前Cmk的计算公式，精度的上下需要更换。
1.3解决方案
1.进行西格玛标准进行目前螺丝刀Cmk的公式进行正推，是否螺丝刀的Cmk能达到1.67。
2.在正态分布的模型中进行抽样对目前Cmk的公式进行反推，螺丝刀的Cmk能发达到1，67。
2 西格玛标准的定义
2.1正态分布
若随机变量 X服从一个位置参数为μ、尺度参数为σ的概率分布，且其概率密度函数为
则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作X~N（μ，），读作X服从N（μ，），或X服从正态分布。
2.2标准正态分布
当μ=0，σ=1时，正态分布就成为标准正态分布
如图：
2.3正态函数的面积分布与西格玛的关系
正态函数的不定积分是一个非初等函数，称为误差函数
x（μ-σ，μ+σ），表示在一个西格玛的概率为0.682689492137，690,000失误/百万机会。
x（μ-2σ，μ+2σ），表示在两个西格玛的概率为0.954499736104，308,000失误/百万机会。
x（μ-3σ，μ+3σ），表示在三个西格玛的概率为0.997300203937，66,800失误/百万机会。
x（μ-4σ，μ+4σ），表示在四个西格玛的概率为0.999936657516，6,210失误/百万机会。
x（μ-5σ，μ+5σ），表示在五个西格玛的概率为0.999999426697，230失误/百万机会。
x（μ-6σ，μ+6σ），表示在六个西格玛的概率为0.999999998027，3.4失误/百万机会。
3 Cmk与Cpk的定义与关系
3.1Cpk与Cmk的定义
在说明Cmk计算方法之前，先阐述Cpk(potentialprocess capability index，潜在的工序能力指数)和Cpk(process capability index工序能力指数)计算方法。工序是产品制造的基本环节，若在生产过程中每一道工序的加工质量都比较高，则产品的质量定能够得到保证。产品或者服务的质量是可以用规格来衡量的，在规格范围内就认为是合格的，否则就认为不合格。过程能力指数的计算就是评价和衡量过程能力的重要环节和规格，甚至成为唯一的尺度[1]。
Cpk：工序能力指数，是指工序在一定时间里，处于控制状态(稳定状态)下的实际加工能力。它是工序固有的能力，或者说它是工序保证质量的能力。1.强调的是过程固有变差和实际固有的能力；2.分析前提是数据服从正态分布，且过程受控；3.至少1.33，过程稳定受控情况下适当频率抽25组至少100个样本
Cmk：表示仅由设备普通原因变差决定的能力,1.考虑短期离散，强调设备本身因素对质量的影响；2.用于新机验收时、新产品试制时、设备大修后等情况；3至少1.67；一般在机器生产稳定后约一小时内抽样10组50样本[2]。
3.2Cpk与Cmk的关系
Cmk与Cpk不同在于取样方法不同,是在机器稳定工作时至少连续50件的数据,Cmk=T/6西格玛,西格玛即可用至少连续50件的数据s估计,又可用至少连续50件的数据分组后的Rbar/d2来估计,由于根据美国工业界的经验，过程变差的75%来自设备变差，如果用至少连续50件的数据s估计的西格玛或用至少连续50件的数据分组后的Rbar/d2估计的西格玛来计算Cpk的话,人机料法环总普通原因变差为8西格玛, Cpk=T/8西格玛.当通过理想化模型，取样数量足够时，Cpk和Cmk接近。
4用正态分布进行Cmk和Cpk的推导过程
4.1Cmk的计算公式
S：取样数据的标准差，用STDEV公式直接计算
T：公差范围，即上、下极限值之差
K:为修正系数或偏离系数
Bi：平均值Xbar和测量的理论中间值之差
Bi=[Xbar-图纸中间值-(上偏差＋下偏差)/2]
4.2Cpk的计算公式
USL：图纸上限尺寸，(中间值＋上公差)
LSL:图纸下限尺寸，(中间值＋下公差)
Xbar：每组抽样数据的平均数，然后再平均数(其实就是所有抽样数据的平均数)
Rbar：每组抽样数据的极差的平均数
d2：跟据抽样数据的多少而对应的修正系数，有表可查
4.3PPK的计算公式
S:取样数据的标准差，用STDEV公式直接计算
附注：Cmk和PPK的公式其实是一样的。西格玛和σ是同一意思。
4.4Cmk和Cpk在正态分布中的计算
由于处于积分状态，样点取数接近无穷个。在此状态下，样品标准差≈整体标准差可得：
一个西格玛标准时，Cpk=0.333333333333。
两个西格玛标准时，Cpk=0.666666666667。
三个西格玛标准时，Cpk=1。
四个西格玛标准时，Cpk=1.333333333333。
五个西格玛标准时，Cpk=1.666666666667。
六个西格玛标准时，Cpk=2。
5按照螺丝刀3σ±5%的精度进行整体分布进行100个抽样。
5.1理想情况下样本抽样表
个数 在正态分布中的扭力抽样符合螺丝的±5%+3σ的标准
1 0.523333
1 0.480833333
1 0.518333
1 0.4825
1 0.516667
1 0.484166667
1 0.515
2 0.485833333 0.514167
2 0.486666667 0.513333
2 0.4875 0.5125
3 0.488333333 0.511667 0.488333333
3 0.489166667 0.510833 0.510833333
4 0.49 0.51 0.49 0.51
4 0.490833333 0.509167 0.490833333 0.509167
5 0.491666667 0.508333 0.491666667 0.508333 0.491667
5 0.4925 0.5075 0.4925 0.5075 0.5075
5 0.493333333 0.506667 0.493333333 0.506667 0.493333
6 0.494166667 0.505833 0.494166667 0.505833 0.494167 0.505833
6 0.495 0.505 0.495 0.505 0.495 0.505
7 0.495833333 0.504167 0.495833333 0.504167 0.495833 0.504167 0.495833
7 0.496666667 0.503333 0.496666667 0.503333 0.496667 0.503333 0.496667
8 0.4975 0.5025 0.4975 0.5025 0.4975 0.5025 0.4975 0.4975
8 0.498333333 0.501667 0.498333333 0.501667 0.498333 0.501667 0.498333 0.501667
8 0.499166667 0.500833 0.499166667 0.500833 0.499167 0.500833 0.499167 0.500833
8 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
5.2 Cpk和Cmk计算
目标扭力 0.5 上限% 5 下限% 5
上限扭力 0.525 下限扭力 0.475
平均值 0.5
方差 0.00006355555556
整体标准差 0.007972174
样本标准差 0.008012336
Cmk 1.040062868
由图表可知，当扭力上下限为5%时候，螺丝无法满足Cmk=1.67的要求。
5.3 按照螺丝刀在5σ的时候进行扭力精度调整
将上下限3σ±5%延伸至5σ±8.3%。
最大扭力 0.5 上限% 8.3 下限% 8.3
目标扭力 0.5 上限扭力 0.5415 下限扭力 0.4585
平均值 0.5
方差 0.00006355555556
整体标准差 0.007972174
样本标准差 0.008012336
Cmk 1.726504361
如表格所示，螺丝刀可以满足Cmk≥1.67。
根据调试的情况不同，可以存在一定量的样本中，Cmk可以大于Cpk的情况与理想状态分离，但是正常情况下，Cmk＞1.67的时候需要Cpk＞1.33。
6总结
目前螺丝刀的精度标为3西格玛±5%的精度时和以下精度一致。
螺丝刀的精度可以标定为±1.67%的精度满足1西格玛标准，此时此时Cpk≈0.33；
螺丝刀的精度可以标定为±3.33%的精度满足2西格玛标准，此时此时Cpk≈0.67；
螺丝刀的精度可以标定为±5%的精度满足3西格玛标准，此时此时Cpk≈1；
螺丝刀的精度可以标定为±6.67%的精度满足4西格玛标准，此时此时Cpk≈1.33；
螺丝刀的精度可以标定为±8.33%的精度满足5西格玛标准，此时此时Cpk≈1.67；
螺丝刀的精度可以标定为±10%的精度满足6西格玛标准，此时此时Cpk≈2；
螺丝刀的Cmk≥1.67需要在螺丝刀4西格玛的精度标准，及Cpk≥1.33的基础上才可以调整达到要求。当设备处于非优秀调试状态下，想要让Cmk≥1.67时候，需要在螺丝刀满足5西格玛的精度标准，Cpk≥1.67的情况下才能完成。
参考文献：
[1]罗孟然,丛明,顾齐芳,李泳耀,李宏坤.基于C_(mk)分析的加工中心精度稳定性评估[J].组合机床与自动化加工技术,2015(03):149-153.DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.03.041.
[2]石枫.能力指数Ppk、Cpk、Cmk在实际工作中应用的探讨[J].电子测试,2014(20):29-31.
[3]赖涌丹.精益六西格玛在在线检测设备测量精度分析中的应用研究[J].机电工程技术,2021,50(02):186-189+223.
补充说明：可以以此为例进行其他设备的精度标准的推测和检测依据。
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