TA的首页可靠性计算
一、概率与统计
1、概率；这里用道题来说明这个数学问题（用WORD把这些烦琐的公式打出来太麻烦了，因为公司不重视品质管理，所以部门连个文员MM都没有，最后我只好使用CORELDRAW做的公式粘贴过来，如果你的电脑系统比较慢，需要耐心等待一会公式才会显示来，不过别着急，好东西往往是最后才出来的嘛！）。
题一、从含有D个不良品的N个产品中随机取出n个产品（做不放回抽样），求取出d个不良品的概率是多少？
解：典型的超几何分布例题，计算公式如下（不要烦人的问我为什么是这样的公式计算，我虽然理解了一些，解释起来非常麻烦，别怪我不够意思，是你自己上学的时候只顾早恋，没有学习造成的，骂自己吧！）：
超几何分布：（最基本的了）：
最精确的计算，适用比较小的数据
其中： N —— 产品批量 D —— N中的不合格数
d —— n中的合格数 n —— 抽样数
另外的概率计算的常用算法还有：
二项分布：（最常用的了，是超几何分布的极限形式。用于具备计件值特征的质量分布研究）：
只是估算，当N≥10n后才比较准确
其中： n —— 样本大小 d —— n中的不合格数
ρ—— 产品不合格率
泊松分布：（电子产品的使用还没有使用过，只是在学习的时候玩过一些题目，我也使用没有经验）
具有计点计算特征的质量特性值
其中： λ—— n ρ n —— 样本的大小
ρ—— 单位不合格率(缺陷率) e = 2.718281
2、分布；各种随机情况，常见的分布有：二项分布、正态分布、泊松分布等，分位数的意义和用法也需要掌握；较典型的题目为：
题三、要求电阻器的值为80+/-4欧姆；从某次生产中随机抽样发现：电阻器的阻值服从正态分布，其均值80.8欧姆、标准差1.3欧姆，求此次生产中不合格品率。
公式好麻烦的，而且还要查表计算，555555555555，我懒得写了，反正我也没有做过电阻。
3、置信区间：我们根据取得样品的参数计算出产品相应的参数，这个“计算值”到底跟产品的“真实值”有什么关系？一般这样去描述这两个量：把“计算值”扩充成“计算区间”、然后描述“真实值有多大的可能会落在这个计算区间里”，从统计学上看，就是“估计参数”的“置信区间”；较典型的题目为：
题四、设某物理量服从正态分布，从中取出四个量，测量/计算后求得四个量的平均值为8.34，四个量的标准差为0.03；求平均值在95%的置信区间。
解：因为只知道此物理量服从正态分布，不知道这个正态分布对应的标准差，所以只能用样品的标准差来代替原物理量的标准差。这时，样品的平均值的分布就服从t分布。4个样品、95%的置信区间，对应的t0.975(3)＝3.182；所以平均值的置信区间为：
8.34±3.182×（0.03/2）=[8.292,8.388]
这说明，此物理量的总体平均值有95%的可能落在8.292和8.388之间。
二、可靠性常用的分布
1、指数分布；第一章里提到浴盒曲线对应的指数分布为F(t)＝1-e-t；如何得到这一分布？
设产品在t时间内总的失效率F(t)，则：
在t时刻产品的存活率R(t)=1-F(t)；
在t时刻的失效为t时间内的失效率的导数、即f(t)=F’(t)；
在t时刻的失效率为t时刻的失效比t时刻的存活率、即f(t)/R(t)。
根据浴盆曲线，当产品在稳定失效阶段时任意时刻的失效率为λ。
综上，即得到等式：λ＝f(t)/R(t)=F’(t)/(1-F(t))；
解此微分方程得到一个特解：F(t)＝1－e-t；
所以R(t)=e-t，这就是指数分布；
2、威布尔分布；与指数分布相比，只是变量λ不一样。威布尔分布的F(t)=1-e^(-t/a)^b；当b＝1时，F(t)=1-e^(-t/a)，这也就是指数分布；我们威布尔分布来看看其它参数：
R(t)＝1-F(t)=e^(-t/a)^b；
f(t)＝F`(t)=(b/t)^b[/i]e^(-t/a)^b；
失效率＝f(t)/R(t)＝(b/t)*(t/a)^b；
3、对数正态分布；顾名思义，说明产品在t时间内的失效率与t服从对数正态分布，也就是说F(t)与ln(t)成正态分布。标准表达式为：F(t)=Φ((lnt-ln(T50))/δ)；
根据各种分布，都可以方便地求出产品MTBF。
要求出产品的MTBF就必须找到样品的失效时间，这样我们必须取出一定的样品做特定的测试、记录样品的失效时间，然后计算产品的MTBF。在开始计算MTBF之前，我们先插述各种测试的筛选强度，也就是此种测试能发现样品存在缺陷的可能性。
三、筛选强度
在进行环境应力筛选设计时，要对所设计的方案进行强度计算。这样才能更有效的析出产品缺陷。在典型筛选应力选择时，一般恒定高温筛选用于元器件级，温度循环用于板级以上产品；温度循环的筛选强度明显高于恒定高温筛选。下面介绍一些筛选强度（SS）的数学模型。
1、恒定高温筛选强度
SS=1-exp [-0.0017(R+0.6)0.6t]
式中：R—高温与室温(一般取25℃)的差值；t—恒定高温持续时间(h)；例：用85℃对某一元器件进行48H的筛选，则其筛选强度为:44.5% =1- EXP(-0.0017^0.6)[/i]48)；
2、温度循环的筛选强度
SS=1-exp{-0.0017(R+0.6)0.6[Ln(e+v)]3N}
式中：R—温度循环的变化范围（℃）；V—温变率（℃/min）；N—温度循环次数；例：用60℃到－40℃以10℃/min的速率做15次循环（每个循环20min，15个共计5H）则对应的筛选强度为：99.87%=1-EXP(-0.0017^0.6))^3)*15)；
3、随机振动的筛选强度
SS=1-exp{-0.0046(Grms)1.71·t}
式中：t—为振动时间（min）；Grms---单位G； （这个地方我也没有找到资料）。
四、MTBF的计算
1、基本MTBF的测试
在实际工作过程中，很多时候并不需要精确在知道某个产品的MTBF，只需要知道是否可以接受此产品。这时，只需要对产品进行摸拟运行测试，当产品通过了测试时，就认为产品达到了要求的MTBF，可以接受此产品。
如何确定产品应该进行什么样的测试，也就是我们应该用多少样品进行多长时间的测试？根据MTBF（平均失效间隔时间）的定义，从“平均”这一个看来，失效的次数越多计算值就越能代表“平均值”，当然失效的次数越多对应的总测试时间也就越长；一般情况下要求：只要测试时间允许，失效的次数就应该取到尽可能地多。
下面用一个例子来说明测试条件的确定方法。
题五：某种产品，要求在90%的信心度下MTBF为2000H，如何判定此产品的可靠性是否达到了规定的要求？
可以转化为判定此产品是否能通过规定时间的模拟运行测试，其关键是要找出测试时间；测试时间＝A×MTBF，A这个因子与“在这段时间内允许失效的次数”和“90%的信心度”有关系。根据已经成熟的体系，直接代用公式：
A＝0.5*X2（1-a，2(r+1)）
X2（1-a，2(r+1)）是自由度为2(r+1)的X平方分布的1-a的分位数；
a 是要求的信心度，为90%； r 是允许的失效数，由你自己决定；
此分布值可以通过EXCEL来计算，在EXCEL中对应的函数为CHIINV；
如允许失效1次时，A=0.5CHIINV(1-0.9,22)=0.5CHIINV(0.1,4)＝0.57.78＝3.89；所以应该测试的时间为：3.89×2000＝7780H。也就是当设备运行7780H是只出现一次失效就认为此产品达到了要求的可靠性。
7780H是324天（7780/24＝324），快一年了，做一次测试花一年的时间？太长！我们可用这样去调整：①增加测试的总样品数；7780从统计上看，准确地说是7780台时、它是“机台×时间”这样一个量，也就是所有样机的测试时间总和；如果测试中有50台样机，则只需要测试155.6H；如果有100台样机，则只需要测试到77.8H（强烈建议在MTBF的测试中采用尽可能多的样品数）；②减少允许失效的次数；允许失效的次数为0时，同上计算后得到测试时间为4605台时（一般不建议采用此种方式来缩短测试时间，这样会增大测试的误差率）。
对于价格较低、数量较多的产品（如各种元器件、各种家用电器等），用上面介绍的方法，可以很方便地进行测试；但当产品的价格较高、MTBF较高的产品如何测试？
题六：某种产品，要求在90%的信心度下MTBF为20000H，因单价较贵，只能提供10台左右的产品做测试，请问如何判定此产品的可靠性是否达到规定的要求？
还是转化为测试。即使有10台产品全部用于测试，20000H的MTBF也需要测2000H左右，这个时间太长，应该怎么办？
此时一般用到加速测试。对一般电子产品而言，多用高热加速，有时也用高湿高湿加速。根据加速模型（Arrhenius Model），得知加速因子的表达式为：
AF=exp{(Ea/k)*[(1/Tu)-(1/Ts)]+ (RHu^n-RHs^n)}
Ea为激活能（eV）,k为玻尔兹曼常数且k=8.6*10E-5eV/K。T为绝对温度、RH指相对湿度（单位％）、下标u指常态、下标s指加速状态（如RHu^n指常态下相对湿度的n次方），一般情况下n取2。
Ea根据原材料的不同，有不同的取值，一般情况下：
氧化膜破坏 0.3Ev
离子性（SiO2中Na离子漂移） 1.0—1.4Ev
离子性（Si-SiO2界面的慢陷阱） 1.0eV
由于电迁移而断线 0.6eV
铝腐蚀 0.6—0.9eV
金属间化合物生长 0.5—0.7eV
根据产品的特性，取Ea为0.6eV，则在75℃、85%RH下做测试1h，相当于在室温（25℃、75%RH）的加速倍数为：
AF＝EXP(0.6-(1/348))[/i]10^5/8.6+(0.85^2-0.75^2))＝34
若充许一次失效，在90%的置信度下，需要测试的时间为：Ttest=AMTBF ，A的计算同上用EXCEL计算，即：A=0.5CHIINV(1-0.9,22)=0.5CHIINV(0.1,4)＝0.5*7.78＝3.89；
所以要求的室温下的测试时间为：Tu=3.89*20000＝77800H；
换算后，在高温下的测试时间为：Ta＝778000/AF＝2288Hrs；
最后，测试方案就是：将10台设备在75℃、85%的下进行228.8Hrs的测试，如果失效次数小于或等于一次，就认为此产品的MTBF达到了要求。
还有一种情况就是，不知道Ea，公司内部以前没有数据、行业也没有推荐使用的具体值。此时就只能近似估计。具体方法如下：在三个高温（t1,t2,t3, t1<t2<t3）下做测试，t1下的产品较多（建议在50台），t2下的产品其次（建议在30台），t3下的产品最少（建议在10台），计算出三个温度下产品的寿命，然后计算出此产品对应的Ea。只考虑温度时，产品寿命Life=EXP(Ea/kT)，对方程式两边取对数Ln(life)=(Ea/k)*(1/T)，将三个温度点下对应Ln(life)和(1/T)画图，拟合直线的斜率就是Ea/K。
实际工作中，没有那么样品，只能用最少的样品数：9台（每个温度下各三台）。具体做法是：
a.取三台设备在高温T下运行，观察产品的失效情况。若产品较快失效，则取t1＝T，t2＝t1－15℃，(1/t3)-(1/t1)＝2((1/t2)-(1/t1))；若产品长时间没有失效，则取t3＝T，t2=t3＋15℃，(1/t3)-(1/t1)＝2((1/t2)-(1/t1))。
b．根据三个温度点对应的产品寿命时间，计算出此产品的Ea。
上面的方法对元器件都比较适用，对一些系统，可能就不太合适了。
2、基本MTBF的计算
因为MTBF是一个统计值，通过取样、测试、计算后得到的值与真实值有一定的差异；而且具体到每个产品时，其失效间隔时间与MTBF又有一定的差异，又有置信度的概念，这样您的计算值与客户的要求高出一些（如多出1个数量级），就可以接受。如客户要求产品的MTTF为20年，我们计算出来为100年，是可以接受的，如果计算出来刚好是20年，反而让人觉得是不是用不到20年。如何计算产品的MTBF，这里给出两个我用到的方法。
一个日本客户要求我们的“光隔离器”（一种用在光路上的不可修复的元器件，只能让光顺行而不能逆行，相当于电路上的二极管）的产品寿命为20年，我们进行了如下动作。
第一步：找到计算公式；我们使用Bellcore推荐的计算公式：MTBF＝Ttot/( N*r)；
说明：N为失效数（当没有产品失效时N取1）；r为对应的系数（取值与失效数与置信度有关）；
Ttot为总运行时间；
第二步：找到可靠性测试的数据；我们直接采用我们做过的“高温高湿贮存”的结果：11个样品在85%RH、85℃下贮存2000Hrs时没有失效发生；
第三步：找到对应的激活能（Ea）；我们采用Bellcore推荐的Ea，为0.8eV；
第四步：计算在温室下的运行时间；
①因为没有样品失效，所以N＝1；
②r取0.92（对应60%的置信度）或2.30（对应90%的置信度）；
③光隔离器在室温下运行，相当于40℃/85%的贮存；
④Ea为0.8eV，计算得到从85℃/85%到40℃/85%的加速倍数为42；
⑤60%的置信度下，MTBF＝Ttot/(Nr)＝（11200042）/(10.92),结果即为114年；
90%的置信度下，MTBF＝Ttot/(Nr)＝（11200041.6）/(12.30),结果即为45年；
从上面的计算可以看出，此计算用到了两个条件：进行了高温高湿测试、产品对应的激活能取0.8，这两个条件在Bellcore里、针对光隔离器的文件1221中有推荐使用。很多时候，因为测试时间太长（如1000H、5000H等）没有进行、激活能难以确定用多少才合适，所以不可直接计算，需要进行一些相关的测试。
取9个样品，分三组，分别在85℃、105℃、127℃下运行，运行过种中“在线监测”产品性能（虽然产品本身有很多参数要测试，在我们的测试中取最主要的参数IL监测，光通信业认为当产品的IL变化量超过0.5dB时就认为产品Fail）。实际测试中，产品在127℃下运行很快Fail，当产品在105℃下运行Fail，停止了测试，各种数据如下表：
温度值（A） 初始IL（B） 停止时间（C） 停止IL（D） 变化量（D-A） 变化量均值
127 0.31 300 0.81 0.50 0.50
0.46 500 0.96 0.50
0.37 400 0.87 0.50
105 0.35 800 0.85 0.50 0.446667
0.38 800 0.90 0.52
0.33 800 0.65 0.32
85 0.32 800 0.40 0.08 0.103333
0.41 800 0.53 0.12
0.34 800 0.45 0.11
从上表可以看出：
①在600H时，第二组样品中2个出现Fail，测试停止；
②在127℃时，产品的寿命为400H，即（300＋500＋400）/ 3；
③在105℃时，产品的寿命为895.5H，即（800/0.4467）×0.5；
说明：产品在105℃下800H时，并没有全部失效，不能像127℃那样直接算出，只能用“线性外延”来计算，虽然不是很准确，但可以接受。因为800H时变化0.4467dB，所以变化量达0.5dB时总运行895.5H；
④同理在85℃时，产品的寿命为3870.2H；
⑤将Arrhenius 公式两边取自然对数得到：Ln(Life)＝（Ea/k）*(1/T)；T温度下对应的Life满足上述公式，把②③④三点中的温度和寿命，按（X,Y）的形式，X =1/T、 Y =ln(life)，得到相应的三点（0.002793，8.26126）、（0.002646，6.797407）、（0.002498、5.991465）；
⑥将第⑤步中的三点在EXCEL中作图，将对应的曲线用直线拟合、交显示公式得到直线的斜率为7893.0；也就是(Ea/k)=7893.0，故Ea＝0.68eV；
⑦故产品在常温25℃（对应的1/T=0.003356）时寿命为：（105℃时的寿命）×（105℃对25℃的加速倍数）；当(Ea/k)=7893.0时，105℃对25℃的加速倍数为272。
⑧故25℃时产品寿命为272*895.5/356/24＝27.8 （年）。
⑨故产品失效率为10E9/(272*895.5)=4103 FIT.
上面的计算过程有很多地方可以讨论：
①第一种方法有很多优点：Ea的取值是Bellcore推荐的值（目前整个业界都不会疑问）、数据由11个样品做同一种测试得到（比3个样品更有说服力）、11个样品没有Fail（这说明实际值比计算出来的值还要大，更让人信服）、考虑了置信度；
在第二种方法里：
②样品数据较少，每组只有3个样品，随机性较大；
③中温、低温时产品没有达到寿命时间，以平均值“外延”代替，误差较大；
④取到三个点时，用直线拟合，带来很多误差；
⑤计算25℃度时的寿命，用“85℃时的寿命”与“加速倍数”相乘，而这两个参数都有误差；
但是，在什么都没有（以前的测试数据没有、激活能用多少也没有）的情况下，用上面的计算也算是一种方法，可以用来回复客户，一般客户都不会“较真”。
最后介绍另一种计算方法。此方法是在常温下运行产品，记录每次故障发生的时间，然后套用寿命模型、选择最好的一种来计算。（我没有用过，只好将书上的例子Copy下来）。
在常温下，对100个产品做测试，当出现10次故障时停止测试。10次故障的时间为：268、401、428、695、725、738、824、905、934、1006小时。求此产品的MTBF。
第一步：求F(t)，即产品的累积失效率（CDF）。这里用这样的方法：
①第一次失效的F(1)=(1-0.3)/(100+0.4)＝0.006972；
②第二次失效的F(2)=(2-0.3)/(100+0.4)＝0.016932；
③第三次失效的F(3)=(3-0.3)/(100+0.4)＝0.026892；
其它类推（分子为：失效次数-0.3；分母为：样品数+0.4）。
第二步：求Ln(1/(1-F(t))，即第一步求得的F(t)代入Ln(1/(1-F(t))计算出数据。如：
①第一次失效的Ln(1/(1-F(1))= Ln(1/(1-0.006972)＝0.006997；
②第二次失效的Ln(1/(1-F(1))= Ln(1/(1-0.016932)＝0.017077；
③第三次失效的Ln(1/(1-F(1))= Ln(1/(1-0.026892)＝0.027261；
其它类推；
第三步：套用公式。不同产品有不同的寿命分布模型，如正态分布、威布尔分布等等。
1、套用正态分布；
①根据正态分布公式1－F(t)＝EXP(-λt)，变换后得到：Ln(1/(1-F(t))＝λt；
②将第二步中求出的Ln(1/(1-F(t))作为y，将每个故障发生的时间t作为x，组成坐标点(x,y)，如(0.006997,268)、(0.017077,401)、(0.027261,428)等，将10个点以EXCEL作图；
2、套用威布尔分布；
①由威布尔公式1－F(t)＝EXP(-（t/m）^n)，变换后得到：Log(ln(1/(1-F(t)))＝nlog(t)-nlog(m)；
②将第二步中求出的Ln(1/(1-F(t))作为Y，将每个故障发生的时间t作为X，取y=logY, x=logX,组成坐标点(x,y)，将10个点以EXCEL作图；
3、套用其它分布；方法同上，先找出对应的公式，再变换，再作图；
第四步：观察与计算；查看第三步中作的图。
①找出哪一个图的10个点看起来最有线性关系，并选定“最直”的那一图；
②将“最直”的那个图用直线拟合，找出直线的斜率k、截距b；
③若是正态图最直，则MTBF＝1/k；若是威布尔图最直，则由k,b计算出m,n，MTBF＝m*Γ(1+1/n);
说明：1、此种方法可以较准确地计算出产品在常温下的MTBF。
2、若常温下产品MTBF很长，也可以用这种方法先计算85℃、105℃等高温下的MTBF，再通过计算激活能后计算出常温下产品的MTBF。
1、概率；这里用道题来说明这个数学问题（用WORD把这些烦琐的公式打出来太麻烦了，因为公司不重视品质管理，所以部门连个文员MM都没有，最后我只好使用CORELDRAW做的公式粘贴过来，如果你的电脑系统比较慢，需要耐心等待一会公式才会显示来，不过别着急，好东西往往是最后才出来的嘛！）。
题一、从含有D个不良品的N个产品中随机取出n个产品（做不放回抽样），求取出d个不良品的概率是多少？
解：典型的超几何分布例题，计算公式如下（不要烦人的问我为什么是这样的公式计算，我虽然理解了一些，解释起来非常麻烦，别怪我不够意思，是你自己上学的时候只顾早恋，没有学习造成的，骂自己吧！）：
超几何分布：（最基本的了）：
最精确的计算，适用比较小的数据
其中： N —— 产品批量 D —— N中的不合格数
d —— n中的合格数 n —— 抽样数
另外的概率计算的常用算法还有：
二项分布：（最常用的了，是超几何分布的极限形式。用于具备计件值特征的质量分布研究）：
只是估算，当N≥10n后才比较准确
其中： n —— 样本大小 d —— n中的不合格数
ρ—— 产品不合格率
泊松分布：（电子产品的使用还没有使用过，只是在学习的时候玩过一些题目，我也使用没有经验）
具有计点计算特征的质量特性值
其中： λ—— n ρ n —— 样本的大小
ρ—— 单位不合格率(缺陷率) e = 2.718281
2、分布；各种随机情况，常见的分布有：二项分布、正态分布、泊松分布等，分位数的意义和用法也需要掌握；较典型的题目为：
题三、要求电阻器的值为80+/-4欧姆；从某次生产中随机抽样发现：电阻器的阻值服从正态分布，其均值80.8欧姆、标准差1.3欧姆，求此次生产中不合格品率。
公式好麻烦的，而且还要查表计算，555555555555，我懒得写了，反正我也没有做过电阻。
3、置信区间：我们根据取得样品的参数计算出产品相应的参数，这个“计算值”到底跟产品的“真实值”有什么关系？一般这样去描述这两个量：把“计算值”扩充成“计算区间”、然后描述“真实值有多大的可能会落在这个计算区间里”，从统计学上看，就是“估计参数”的“置信区间”；较典型的题目为：
题四、设某物理量服从正态分布，从中取出四个量，测量/计算后求得四个量的平均值为8.34，四个量的标准差为0.03；求平均值在95%的置信区间。
解：因为只知道此物理量服从正态分布，不知道这个正态分布对应的标准差，所以只能用样品的标准差来代替原物理量的标准差。这时，样品的平均值的分布就服从t分布。4个样品、95%的置信区间，对应的t0.975(3)＝3.182；所以平均值的置信区间为：
8.34±3.182×（0.03/2）=[8.292,8.388]
这说明，此物理量的总体平均值有95%的可能落在8.292和8.388之间。
二、可靠性常用的分布
1、指数分布；第一章里提到浴盒曲线对应的指数分布为F(t)＝1-e-t；如何得到这一分布？
设产品在t时间内总的失效率F(t)，则：
在t时刻产品的存活率R(t)=1-F(t)；
在t时刻的失效为t时间内的失效率的导数、即f(t)=F’(t)；
在t时刻的失效率为t时刻的失效比t时刻的存活率、即f(t)/R(t)。
根据浴盆曲线，当产品在稳定失效阶段时任意时刻的失效率为λ。
综上，即得到等式：λ＝f(t)/R(t)=F’(t)/(1-F(t))；
解此微分方程得到一个特解：F(t)＝1－e-t；
所以R(t)=e-t，这就是指数分布；
2、威布尔分布；与指数分布相比，只是变量λ不一样。威布尔分布的F(t)=1-e^(-t/a)^b；当b＝1时，F(t)=1-e^(-t/a)，这也就是指数分布；我们威布尔分布来看看其它参数：
R(t)＝1-F(t)=e^(-t/a)^b；
f(t)＝F`(t)=(b/t)^b[/i]e^(-t/a)^b；
失效率＝f(t)/R(t)＝(b/t)*(t/a)^b；
3、对数正态分布；顾名思义，说明产品在t时间内的失效率与t服从对数正态分布，也就是说F(t)与ln(t)成正态分布。标准表达式为：F(t)=Φ((lnt-ln(T50))/δ)；
根据各种分布，都可以方便地求出产品MTBF。
要求出产品的MTBF就必须找到样品的失效时间，这样我们必须取出一定的样品做特定的测试、记录样品的失效时间，然后计算产品的MTBF。在开始计算MTBF之前，我们先插述各种测试的筛选强度，也就是此种测试能发现样品存在缺陷的可能性。
三、筛选强度
在进行环境应力筛选设计时，要对所设计的方案进行强度计算。这样才能更有效的析出产品缺陷。在典型筛选应力选择时，一般恒定高温筛选用于元器件级，温度循环用于板级以上产品；温度循环的筛选强度明显高于恒定高温筛选。下面介绍一些筛选强度（SS）的数学模型。
1、恒定高温筛选强度
SS=1-exp [-0.0017(R+0.6)0.6t]
式中：R—高温与室温(一般取25℃)的差值；t—恒定高温持续时间(h)；例：用85℃对某一元器件进行48H的筛选，则其筛选强度为:44.5% =1- EXP(-0.0017^0.6)[/i]48)；
2、温度循环的筛选强度
SS=1-exp{-0.0017(R+0.6)0.6[Ln(e+v)]3N}
式中：R—温度循环的变化范围（℃）；V—温变率（℃/min）；N—温度循环次数；例：用60℃到－40℃以10℃/min的速率做15次循环（每个循环20min，15个共计5H）则对应的筛选强度为：99.87%=1-EXP(-0.0017^0.6))^3)*15)；
3、随机振动的筛选强度
SS=1-exp{-0.0046(Grms)1.71·t}
式中：t—为振动时间（min）；Grms---单位G； （这个地方我也没有找到资料）。
四、MTBF的计算
1、基本MTBF的测试
在实际工作过程中，很多时候并不需要精确在知道某个产品的MTBF，只需要知道是否可以接受此产品。这时，只需要对产品进行摸拟运行测试，当产品通过了测试时，就认为产品达到了要求的MTBF，可以接受此产品。
如何确定产品应该进行什么样的测试，也就是我们应该用多少样品进行多长时间的测试？根据MTBF（平均失效间隔时间）的定义，从“平均”这一个看来，失效的次数越多计算值就越能代表“平均值”，当然失效的次数越多对应的总测试时间也就越长；一般情况下要求：只要测试时间允许，失效的次数就应该取到尽可能地多。
下面用一个例子来说明测试条件的确定方法。
题五：某种产品，要求在90%的信心度下MTBF为2000H，如何判定此产品的可靠性是否达到了规定的要求？
可以转化为判定此产品是否能通过规定时间的模拟运行测试，其关键是要找出测试时间；测试时间＝A×MTBF，A这个因子与“在这段时间内允许失效的次数”和“90%的信心度”有关系。根据已经成熟的体系，直接代用公式：
A＝0.5*X2（1-a，2(r+1)）
X2（1-a，2(r+1)）是自由度为2(r+1)的X平方分布的1-a的分位数；
a 是要求的信心度，为90%； r 是允许的失效数，由你自己决定；
此分布值可以通过EXCEL来计算，在EXCEL中对应的函数为CHIINV；
如允许失效1次时，A=0.5CHIINV(1-0.9,22)=0.5CHIINV(0.1,4)＝0.57.78＝3.89；所以应该测试的时间为：3.89×2000＝7780H。也就是当设备运行7780H是只出现一次失效就认为此产品达到了要求的可靠性。
7780H是324天（7780/24＝324），快一年了，做一次测试花一年的时间？太长！我们可用这样去调整：①增加测试的总样品数；7780从统计上看，准确地说是7780台时、它是“机台×时间”这样一个量，也就是所有样机的测试时间总和；如果测试中有50台样机，则只需要测试155.6H；如果有100台样机，则只需要测试到77.8H（强烈建议在MTBF的测试中采用尽可能多的样品数）；②减少允许失效的次数；允许失效的次数为0时，同上计算后得到测试时间为4605台时（一般不建议采用此种方式来缩短测试时间，这样会增大测试的误差率）。
对于价格较低、数量较多的产品（如各种元器件、各种家用电器等），用上面介绍的方法，可以很方便地进行测试；但当产品的价格较高、MTBF较高的产品如何测试？
题六：某种产品，要求在90%的信心度下MTBF为20000H，因单价较贵，只能提供10台左右的产品做测试，请问如何判定此产品的可靠性是否达到规定的要求？
还是转化为测试。即使有10台产品全部用于测试，20000H的MTBF也需要测2000H左右，这个时间太长，应该怎么办？
此时一般用到加速测试。对一般电子产品而言，多用高热加速，有时也用高湿高湿加速。根据加速模型（Arrhenius Model），得知加速因子的表达式为：
AF=exp{(Ea/k)*[(1/Tu)-(1/Ts)]+ (RHu^n-RHs^n)}
Ea为激活能（eV）,k为玻尔兹曼常数且k=8.6*10E-5eV/K。T为绝对温度、RH指相对湿度（单位％）、下标u指常态、下标s指加速状态（如RHu^n指常态下相对湿度的n次方），一般情况下n取2。
Ea根据原材料的不同，有不同的取值，一般情况下：
氧化膜破坏 0.3Ev
离子性（SiO2中Na离子漂移） 1.0—1.4Ev
离子性（Si-SiO2界面的慢陷阱） 1.0eV
由于电迁移而断线 0.6eV
铝腐蚀 0.6—0.9eV
金属间化合物生长 0.5—0.7eV
根据产品的特性，取Ea为0.6eV，则在75℃、85%RH下做测试1h，相当于在室温（25℃、75%RH）的加速倍数为：
AF＝EXP(0.6-(1/348))[/i]10^5/8.6+(0.85^2-0.75^2))＝34
若充许一次失效，在90%的置信度下，需要测试的时间为：Ttest=AMTBF ，A的计算同上用EXCEL计算，即：A=0.5CHIINV(1-0.9,22)=0.5CHIINV(0.1,4)＝0.5*7.78＝3.89；
所以要求的室温下的测试时间为：Tu=3.89*20000＝77800H；
换算后，在高温下的测试时间为：Ta＝778000/AF＝2288Hrs；
最后，测试方案就是：将10台设备在75℃、85%的下进行228.8Hrs的测试，如果失效次数小于或等于一次，就认为此产品的MTBF达到了要求。
还有一种情况就是，不知道Ea，公司内部以前没有数据、行业也没有推荐使用的具体值。此时就只能近似估计。具体方法如下：在三个高温（t1,t2,t3, t1<t2<t3）下做测试，t1下的产品较多（建议在50台），t2下的产品其次（建议在30台），t3下的产品最少（建议在10台），计算出三个温度下产品的寿命，然后计算出此产品对应的Ea。只考虑温度时，产品寿命Life=EXP(Ea/kT)，对方程式两边取对数Ln(life)=(Ea/k)*(1/T)，将三个温度点下对应Ln(life)和(1/T)画图，拟合直线的斜率就是Ea/K。
实际工作中，没有那么样品，只能用最少的样品数：9台（每个温度下各三台）。具体做法是：
a.取三台设备在高温T下运行，观察产品的失效情况。若产品较快失效，则取t1＝T，t2＝t1－15℃，(1/t3)-(1/t1)＝2((1/t2)-(1/t1))；若产品长时间没有失效，则取t3＝T，t2=t3＋15℃，(1/t3)-(1/t1)＝2((1/t2)-(1/t1))。
b．根据三个温度点对应的产品寿命时间，计算出此产品的Ea。
上面的方法对元器件都比较适用，对一些系统，可能就不太合适了。
2、基本MTBF的计算
因为MTBF是一个统计值，通过取样、测试、计算后得到的值与真实值有一定的差异；而且具体到每个产品时，其失效间隔时间与MTBF又有一定的差异，又有置信度的概念，这样您的计算值与客户的要求高出一些（如多出1个数量级），就可以接受。如客户要求产品的MTTF为20年，我们计算出来为100年，是可以接受的，如果计算出来刚好是20年，反而让人觉得是不是用不到20年。如何计算产品的MTBF，这里给出两个我用到的方法。
一个日本客户要求我们的“光隔离器”（一种用在光路上的不可修复的元器件，只能让光顺行而不能逆行，相当于电路上的二极管）的产品寿命为20年，我们进行了如下动作。
第一步：找到计算公式；我们使用Bellcore推荐的计算公式：MTBF＝Ttot/( N*r)；
说明：N为失效数（当没有产品失效时N取1）；r为对应的系数（取值与失效数与置信度有关）；
Ttot为总运行时间；
第二步：找到可靠性测试的数据；我们直接采用我们做过的“高温高湿贮存”的结果：11个样品在85%RH、85℃下贮存2000Hrs时没有失效发生；
第三步：找到对应的激活能（Ea）；我们采用Bellcore推荐的Ea，为0.8eV；
第四步：计算在温室下的运行时间；
①因为没有样品失效，所以N＝1；
②r取0.92（对应60%的置信度）或2.30（对应90%的置信度）；
③光隔离器在室温下运行，相当于40℃/85%的贮存；
④Ea为0.8eV，计算得到从85℃/85%到40℃/85%的加速倍数为42；
⑤60%的置信度下，MTBF＝Ttot/(Nr)＝（11200042）/(10.92),结果即为114年；
90%的置信度下，MTBF＝Ttot/(Nr)＝（11200041.6）/(12.30),结果即为45年；
从上面的计算可以看出，此计算用到了两个条件：进行了高温高湿测试、产品对应的激活能取0.8，这两个条件在Bellcore里、针对光隔离器的文件1221中有推荐使用。很多时候，因为测试时间太长（如1000H、5000H等）没有进行、激活能难以确定用多少才合适，所以不可直接计算，需要进行一些相关的测试。
取9个样品，分三组，分别在85℃、105℃、127℃下运行，运行过种中“在线监测”产品性能（虽然产品本身有很多参数要测试，在我们的测试中取最主要的参数IL监测，光通信业认为当产品的IL变化量超过0.5dB时就认为产品Fail）。实际测试中，产品在127℃下运行很快Fail，当产品在105℃下运行Fail，停止了测试，各种数据如下表：
温度值（A） 初始IL（B） 停止时间（C） 停止IL（D） 变化量（D-A） 变化量均值
127 0.31 300 0.81 0.50 0.50
0.46 500 0.96 0.50
0.37 400 0.87 0.50
105 0.35 800 0.85 0.50 0.446667
0.38 800 0.90 0.52
0.33 800 0.65 0.32
85 0.32 800 0.40 0.08 0.103333
0.41 800 0.53 0.12
0.34 800 0.45 0.11
从上表可以看出：
①在600H时，第二组样品中2个出现Fail，测试停止；
②在127℃时，产品的寿命为400H，即（300＋500＋400）/ 3；
③在105℃时，产品的寿命为895.5H，即（800/0.4467）×0.5；
说明：产品在105℃下800H时，并没有全部失效，不能像127℃那样直接算出，只能用“线性外延”来计算，虽然不是很准确，但可以接受。因为800H时变化0.4467dB，所以变化量达0.5dB时总运行895.5H；
④同理在85℃时，产品的寿命为3870.2H；
⑤将Arrhenius 公式两边取自然对数得到：Ln(Life)＝（Ea/k）*(1/T)；T温度下对应的Life满足上述公式，把②③④三点中的温度和寿命，按（X,Y）的形式，X =1/T、 Y =ln(life)，得到相应的三点（0.002793，8.26126）、（0.002646，6.797407）、（0.002498、5.991465）；
⑥将第⑤步中的三点在EXCEL中作图，将对应的曲线用直线拟合、交显示公式得到直线的斜率为7893.0；也就是(Ea/k)=7893.0，故Ea＝0.68eV；
⑦故产品在常温25℃（对应的1/T=0.003356）时寿命为：（105℃时的寿命）×（105℃对25℃的加速倍数）；当(Ea/k)=7893.0时，105℃对25℃的加速倍数为272。
⑧故25℃时产品寿命为272*895.5/356/24＝27.8 （年）。
⑨故产品失效率为10E9/(272*895.5)=4103 FIT.
上面的计算过程有很多地方可以讨论：
①第一种方法有很多优点：Ea的取值是Bellcore推荐的值（目前整个业界都不会疑问）、数据由11个样品做同一种测试得到（比3个样品更有说服力）、11个样品没有Fail（这说明实际值比计算出来的值还要大，更让人信服）、考虑了置信度；
在第二种方法里：
②样品数据较少，每组只有3个样品，随机性较大；
③中温、低温时产品没有达到寿命时间，以平均值“外延”代替，误差较大；
④取到三个点时，用直线拟合，带来很多误差；
⑤计算25℃度时的寿命，用“85℃时的寿命”与“加速倍数”相乘，而这两个参数都有误差；
但是，在什么都没有（以前的测试数据没有、激活能用多少也没有）的情况下，用上面的计算也算是一种方法，可以用来回复客户，一般客户都不会“较真”。
最后介绍另一种计算方法。此方法是在常温下运行产品，记录每次故障发生的时间，然后套用寿命模型、选择最好的一种来计算。（我没有用过，只好将书上的例子Copy下来）。
在常温下，对100个产品做测试，当出现10次故障时停止测试。10次故障的时间为：268、401、428、695、725、738、824、905、934、1006小时。求此产品的MTBF。
第一步：求F(t)，即产品的累积失效率（CDF）。这里用这样的方法：
①第一次失效的F(1)=(1-0.3)/(100+0.4)＝0.006972；
②第二次失效的F(2)=(2-0.3)/(100+0.4)＝0.016932；
③第三次失效的F(3)=(3-0.3)/(100+0.4)＝0.026892；
其它类推（分子为：失效次数-0.3；分母为：样品数+0.4）。
第二步：求Ln(1/(1-F(t))，即第一步求得的F(t)代入Ln(1/(1-F(t))计算出数据。如：
①第一次失效的Ln(1/(1-F(1))= Ln(1/(1-0.006972)＝0.006997；
②第二次失效的Ln(1/(1-F(1))= Ln(1/(1-0.016932)＝0.017077；
③第三次失效的Ln(1/(1-F(1))= Ln(1/(1-0.026892)＝0.027261；
其它类推；
第三步：套用公式。不同产品有不同的寿命分布模型，如正态分布、威布尔分布等等。
1、套用正态分布；
①根据正态分布公式1－F(t)＝EXP(-λt)，变换后得到：Ln(1/(1-F(t))＝λt；
②将第二步中求出的Ln(1/(1-F(t))作为y，将每个故障发生的时间t作为x，组成坐标点(x,y)，如(0.006997,268)、(0.017077,401)、(0.027261,428)等，将10个点以EXCEL作图；
2、套用威布尔分布；
①由威布尔公式1－F(t)＝EXP(-（t/m）^n)，变换后得到：Log(ln(1/(1-F(t)))＝nlog(t)-nlog(m)；
②将第二步中求出的Ln(1/(1-F(t))作为Y，将每个故障发生的时间t作为X，取y=logY, x=logX,组成坐标点(x,y)，将10个点以EXCEL作图；
3、套用其它分布；方法同上，先找出对应的公式，再变换，再作图；
第四步：观察与计算；查看第三步中作的图。
①找出哪一个图的10个点看起来最有线性关系，并选定“最直”的那一图；
②将“最直”的那个图用直线拟合，找出直线的斜率k、截距b；
③若是正态图最直，则MTBF＝1/k；若是威布尔图最直，则由k,b计算出m,n，MTBF＝m*Γ(1+1/n);
说明：1、此种方法可以较准确地计算出产品在常温下的MTBF。
2、若常温下产品MTBF很长，也可以用这种方法先计算85℃、105℃等高温下的MTBF，再通过计算激活能后计算出常温下产品的MTBF。
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