均匀设计软件(Ver3.00)的配方试验设计的例子

配方试验设计的例子　例 某种新材料由三种金属组成, 它们的含量分别为http://cnc.advancedtechnic.com ... 2.gif,http://cnc.advancedtechnic.com ... 4.gif,http://cnc.advancedtechnic.com ... 6.gif。用均匀设计表http://cnc.advancedtechnic.com ... 8.gif生成无约束配方并进行试验。试验方案和试验指标http://cnc.advancedtechnic.com ... 0.gif的结果见表１(因http://cnc.advancedtechnic.com ... 2.gif, 所以表中仅给出了http://cnc.advancedtechnic.com ... 4.gif和http://cnc.advancedtechnic.com ... 6.gif的数值), http://cnc.advancedtechnic.com ... 8.gif值越大越好, 请确定最优配方。
表１试验号http://cnc.advancedtechnic.com ... 3.gif 10.8170.055 8.508 20.6840.179 9.464 30.5920.340 9.935 40.5170.048 9.400 50.4520.20110.680 60.3940.384 9.748 70.3420.592 9.698 80.2930.11810.238 90.2470.326 9.809100.2040.557 9.732110.1630.809 8.933120.1240.204 9.971130.0870.456 9.881140.0510.727 8.892150.0170.03310.139直观分析法:
　　由于配方均匀设计的试验点分布得比较均匀, 所以可以通过直观分析法, 结合实际情况直接选用其中最好的试验点作为最优配方。例如本例中的第５、８、15号试验。
回归分析法:
　　由于http://cnc.advancedtechnic.com ... 5.gif, 故可利用二元二次回归模型确定试验指标http://cnc.advancedtechnic.com ... 7.gif和http://cnc.advancedtechnic.com ... 9.gif,http://cnc.advancedtechnic.com ... 1.gif之间的回归方程, 求得回归方程为:
　　　　http://cnc.advancedtechnic.com ... 3.gif, (1)
复相关系数http://cnc.advancedtechnic.com ... 5.gif, 显著性水平α＝0.05、自由度＝10时的相关系数临界值http://cnc.advancedtechnic.com ... 7.gif, http://cnc.advancedtechnic.com ... 9.gif, 回归方程是显著的。关于配方设计的回归模型问题请参见下面的注解―关于配方设计的回归模型。
　　极值求解: 求式(1)关于http://cnc.advancedtechnic.com ... 1.gif和http://cnc.advancedtechnic.com ... 3.gif的一阶偏导数并使它们均等于0, 即
　　　　http://cnc.advancedtechnic.com ... 5.gif,
　　则得方程组:
　　　　http://cnc.advancedtechnic.com ... 7.gif,
　　解方程组, 得
　　　　http://cnc.advancedtechnic.com ... 9.gif,
　　因为http://cnc.advancedtechnic.com ... 1.gif, 则http://cnc.advancedtechnic.com ... 3.gif, 将http://cnc.advancedtechnic.com ... 5.gif,http://cnc.advancedtechnic.com ... 7.gif的值代入式(1)则http://cnc.advancedtechnic.com ... 9.gif, 此极值是最大值, 因此得到优化的配方为:
　　　　http://cnc.advancedtechnic.com ... 1.gif,
　　　　http://cnc.advancedtechnic.com ... 3.gif,
　　　　http://cnc.advancedtechnic.com ... 5.gif,
　　　　预计http://cnc.advancedtechnic.com ... 7.gif。　　注意: http://cnc.advancedtechnic.com ... 9.gif的预测最大值并不优于配方８和配方５的结果, 说明此模型还有不足, 需要进一步完善。
　　包含此计算结果的例子为 FormulaSample.udc, 打开它后可见“因素１”和“因素５”列中分别为原料１和原料２的值, “因素２”列中为http://cnc.advancedtechnic.com ... 1.gif的值, “因素３”列中为http://cnc.advancedtechnic.com ... 3.gif的值, “因素４”列中为http://cnc.advancedtechnic.com ... 5.gif的值。
　　用均匀设计表http://cnc.advancedtechnic.com ... 7.gif生成的无约束配方见表２。
表２试验号http://cnc.advancedtechnic.com ... 3.gif 1 81.7 10.3 7.91 2 68.4 3.16 28.5 3 59.2 28.6 12.2 4 51.7 11.3 37.0 5 45.2 45.6 9.13 6 39.4 22.2 38.4 7 34.2 63.6 2.19 8 29.3 35.4 35.4 9 24.7 2.51 72.810 20.4 50.4 29.211 16.3 13.9 69.712 12.4 67.1 20.413 8.71 27.4 63.914 5.13 85.4 9.4915 1.68 42.6 55.7　　注: 表中各原料的数值是百分比数值。

　　在“试验设计”中选择因素数为“４”, 然后进行全回归分析即可得如下回归分析结果(与回归分析无关的内容未列出):

------------------ 试 验 基 本 信 息 ------------------

指标数: １, 因素个数: ４, 运行次数: 15
试验设计选用均匀设计表 Ｕ15(15 5)
各因素水平数相等

指标　名称: Ｙ　　　　　　　　　　单位: ?
因素１名称: Ｘ1 　　　　　　　　　单位: ?
因素２名称: Ｘ1^2 　　　　　　　　单位: ?
因素３名称: Ｘ2^2 　　　　　　　　单位: ?
因素４名称: Ｘ1Ｘ2　　　　　　　　单位: ?

------------------- 多 元 回 归 分 析 -------------------

回归分析采用全回归法, 显著性水平α＝0.05

拟建立回归方程:
ｙ = b(0) + b(1)Ｘ(1) + b(2)Ｘ(2) + b(3)Ｘ(3) + b(4)Ｘ(4)

回归系数 b(i):
b(0)＝ 10.09
b(1)＝ 0.8041
b(2)＝-3.464
b(3)＝-2.672
b(4)＝ 3.886

标准回归系数 B(i):
B(1)＝ 0.3455
B(2)＝-1.218
B(3)＝-0.9736
B(4)＝ 0.4492

复相关系数 Ｒ＝0.9005
决定系数 Ｒ^2＝0.8109
修正的决定系数 Ｒ^2a＝0.7593

回归方程显著性检验:
变 量 分 析 表
变异来源平 方 和自 由 度均 方均 方 比回 归Ｕ＝3.578
Ｋ＝4
Ｕ/Ｋ＝0.8944
Ｆ＝10.72
剩 余Ｑ＝0.8344
Ｎ－１－Ｋ＝10
Ｑ/(Ｎ－１－Ｋ)＝8.344e-2
　
总 和Ｌ＝4.412
Ｎ－１＝14
　
　
样本容量Ｎ＝15, 显著性水平α＝0.05, 检验值Ｆt＝10.72, 临界值Ｆ(0.05,4,10)＝3.478, Ｆt＞Ｆ(0.05,4,10), 回归方程显著。
剩余标准差 ｓ＝0.2889

回归系数检验值:
ｔ检验值(df＝10):
ｔ(1)＝ 0.5013
ｔ(2)＝-1.991
ｔ(3)＝-4.853
ｔ(4)＝ 2.018
Ｆ检验值(df1＝1, df2＝10):
Ｆ(1)＝ 0.2513
Ｆ(2)＝ 3.964
Ｆ(3)＝ 23.56
Ｆ(4)＝ 4.074

偏回归平方和 U(i):
U(1)＝2.097e-2
U(2)＝0.3307
U(3)＝1.965
U(4)＝0.3399

偏相关系数 ρ(i):
ρ1,234＝ 0.1566
ρ2,134＝-0.5328
ρ3,124＝-0.8378
ρ4,123＝ 0.5380

各方程项对回归的贡献(按偏回归平方和降序排列):
U(3)＝1.965, U(3)/U＝54.93%
U(4)＝0.3399, U(4)/U＝9.501%
U(2)＝0.3307, U(2)/U＝9.245%
U(1)＝2.097e-2, U(1)/U＝0.5861%

第１方程项对回归的贡献最小, 对其进行显著性检验:
检验值Ｆ(1)＝0.2513, 临界值Ｆ(0.05,1,10)＝4.965,
Ｆ(1)≤Ｆ(0.05,1,10), 此因素(方程项)不显著。

残差分析:
残 差 分 析 表
№
观 测 值
回 归 值
观测值－回归值
(回归值－观测值)/观测值×100(%)
１
8.508
8.601
-9.300e-2
1.093
２
9.464
9.410
5.400e-2
-0.5706
３
9.935
9.825
0.1100
-1.107
４
9.400
9.670
-0.2700
2.872
５
10.68
9.991
0.6890
-6.451
６
9.748
10.06
-0.3120
3.201
７
9.698
9.810
-0.1120
1.155
８
10.24
10.13
0.1100
-1.074
９
9.809
10.11
-0.3010
3.069
10
9.732
9.722
1.000e-2
-0.1028
11
8.933
8.893
4.000e-2
-0.4478
12
9.971
10.12
-0.1490
1.494
13
9.881
9.732
0.1490
-1.508
14
8.892
8.854
3.800e-2
-0.4274
15
10.14
10.10
4.000e-2
-0.3945

------------------ 回 归 分 析 结 束 ------------------

注: 关于配方设计的回归模型
　　配方设计(混料设计)的因素之间是有关联的, 因此回归模型不同于一般试验设计中的回归模型, 下面举例说明:
　　设某产品的三种原料在配方中的比例分别为http://cnc.advancedtechnic.com ... 5.gif, 指标http://cnc.advancedtechnic.com ... 7.gif与http://cnc.advancedtechnic.com ... 9.gif之间若建立二次型回归模型, 则模型可写为:
　　　　http://cnc.advancedtechnic.com ... 1.gif,
　　因为http://cnc.advancedtechnic.com ... 3.gif, 所以上面的方程可以变换为如下形式:
　　　　http://cnc.advancedtechnic.com ... 5.gif, (1)
　　它没有常数项(http://cnc.advancedtechnic.com ... 27.gif)和二次项(http://cnc.advancedtechnic.com ... 29.gif), 只有一次项(http://cnc.advancedtechnic.com ... 31.gif)和交互项(http://cnc.advancedtechnic.com ... 33.gif)。
　　又由于http://cnc.advancedtechnic.com ... 5.gif, 上述方程也可以变换为如下形式:
　　　　http://cnc.advancedtechnic.com ... 7.gif, (2)
　　它没有http://cnc.advancedtechnic.com ... 9.gif的方程项, 因为本软件建立的模型都是有常数项的, 所以回归建模时应该选择(2)式的模型, 在最终的结果表述时, 根据已知的http://cnc.advancedtechnic.com ... 1.gif然后利用http://cnc.advancedtechnic.com ... 3.gif计算出http://cnc.advancedtechnic.com ... 5.gif。

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