常规控制图的基本原理及其在实际应用中的注意事项

这是一篇征文比赛的稿件，在写的过程中得到了欧立威大师的帮助，在此向他表示感谢。

统计过程控制（SPC）作为一种能够让我们更清楚地理解过程或系统行为的技术，被广泛用于工业生产与服务行业。而统计控制图作为SPC的重要组成部分，被用于研究与生产过程，成为过程监控与诊断的工具。
SPC是建立在数据的分析基础上的，因此，首先要保证测量数据的有效性。因为如果测量数据无效（准确性或精度不够），则建立在此数据基础上的结论，其错误的可能性就高。因此，当要对某一重要的质量特性进行统计过程控制分析之前，先要确定其测量系统能够满足要求，即通常所说的测量系统分析，再进行测量。测量系统分析包括测量系统准确性与精解性的分析，其中，测量系统的准确性通常由执证的计量人员进行，而测量系统的精确性通常通过GRR分析，即量具的重复性现再现性分析得到。这里不做具体的介绍。，
一、控制图的原理。
控制图理论认为存在两种波动，第一种波动为随机波动或偶然波动，由偶然因素所造成。这种波动是由种种始终存在且不易识别的因素所造成，其中每一种因素的影响只构成总波动中很小的分量，而无一为显著分量，但这些不可识别的偶然因素的影响总和是可度量的，并假定为过程所固有。这种偶然因素对质量的影响微小，且难以消除，因此可把偶然波动看作背景噪声而接受
第二种波动为异常波动，由异常因素所造成。异常因素并非过程所固有，对质量影响大，但不难排除。
当过程中只有偶因时，质量特性值将形成某种典型的分布，如果除偶然波动外，还存在异常波动，则质量特性值的分布必将偏离原来的典型分布。因此，人们可以根据典型分布是否偏离来判断异常波动是否存在，而典型分布的偏离可由控制图检出。传统的控制图是建立在正态分布或近似正态分布的假设上，以过程中心±3σ为控制限，其概率分布如图1所示。

图1. 传统控制图假设的质量特性的典型分布

由于控制图是用有限的样本来判断过程是否正常，因此，不可避免地要面对两类错误。第一类错误：虚发警报的错误，即过程正常，由于点子偶然超出界外而判异，通常将犯第一类错误的概率记为α； 第二类错误：漏发警报的错误，即过程异常，但仍会有部分产品，其质量特性的数值大小仍位于控制界限内，因此当抽到这种产品时，点子仍会在界内，从而犯了第二类错误，通常将犯第二类错误的概率记为β。
传统的控制图以过程中心±3σ为控制限，即点出界的概率为0.27%。因此，如果用点出界判异，则犯第一种错误的概率为0.27%。这也意味着犯第二种错误的概率较大，也就是说，控制图不够敏感，无法识别一些已经异常的过程。根据中心极限定理，当样本的某一质量特性值是n个独立同分布的随机变量，且其均值为μ，方差为σ2，则其均值近似服从均值为μ，方差为σ2/n的正态分布。因此，随着n值的增大，均值的波动范围会变窄，从而减少犯第二类错误的概率，提高控制图的识别能力。图2对该方法做了很好的诠释。如图2， 当过程产品的某一质量特性的中心发生1.5σ偏移时，如果使用单值控制图，改变后的过程产品被当作未改变的过程产品的概率为93.93%，而当子组容量为12时，该概率将减少到1.4%。

图2. 控制图的敏感性

因此，在实践中，我们可以通过适当增加子组的样本容量，来降低控制图犯第二类错误的概率。但是，增加样本容量也不是越大越好，因为这样会增加测量成本，在实践中，人们常用下面的公式来计算子组的大小。
n=(Zα /2 + Zβ )^^2 σ^^2/D^^2
式中，α是犯第一类错误的概率，在控制图中，常默认为0.0027；β是犯第二类错误的概率，可以取0.1、0.2等，主要是根据该特性的重要程度来确定； Zα /2，Zβ是与α/2，β所对应的正态分位数；D是我们希望控制图能检测出的变化。
例1：某产品净重为500g，已知过程的标准差为5g，净重服从正态分布，因此公司决定将过程中心控制在515g以免被消费者说重量与产品标示不一致，但公司又不愿意多装产品，因此，公司希望净重不要变高，也不要变低。问：如果公司希望过程中心发生7.5g偏移时，被检出的概率为80%，则均值控制图中子组的容量是多少？
根据上式，n=(Zα /2 + Zβ )^^2 σ^^2/D^^2=(3 + 0.84 )^^2 * 5^^2/7.5^^2 =6.6
因此，该控制图子组容量应该为7。

二、控制图的选择及其在应用中的注意事项

图3. 控制图的选择指南

图3给出了控制图选择的一个图例。许多质量书籍中都会有控制图使用方面的内容，这里不做详细的介绍。下面，对常规控制图应用中的注意事项进行详细说明。
1. 单值-移动极差控制图（I-MR图）
单值-移动极差控制图（I-MR图）可用于单件的计量型数据，常用于取样测量复杂，费用昂贵，或产品均匀的场合。
I图的控制限为Xbar ±E2 Rbar，MR图的控制上下限分别为D4Rbar ，D3 Rbar，中心为Rbar 。由于控制图理论是用正态分布这一典型分布来计算控制限的，而在实践中，很多时候，质量特性值并不是来自正态分布的，因此，要对质量特性进行正态检验，确认其符合正态分布后，才能使用该控制限。如果个体不是正态分布，通常有三种处理方法，一是通过Box-Cox或Johnson变换，将其转换成正态分布后，再绘制成控制图，得出相应的控制限。现在的一些统计软件，如Minitab，就有这种功能。经过转换的控制限不能直接与过程输出的质量特性值直接比对，确定输出是否出界；而在现场中，进行转换是很不方便的，因此，建议将研究过程得到的控制限用逆转换公式换算回来，作为现场使用的控制限。第二种情况是无法通过上面的方法转换成正态分布的数据，但能过统计软件中样本分布识的功能，能找到相应的特征分布。此时可以通过已知的分布特征找到某概率值所对应的值，如，minitab 中“计算>概率分布”选择其特征分布，用逆累积概率法计算α/2与1-α/2对应的特征值，以这两个特征值作为1-α的控制图。第三种情况是无法找到合适的特征分布，此时建议用做%中位数控制图，α的选择可根据实际需要定，当我们取α为0.0027，就与常规控制图一样了。而如果α取常见的0.005或0.01时，即得到了99.5%或99%控制图。当α大时，控制限会相应地更小些，但仍然是小概率事件，因此使用的效果还是可以的。需要说明的是，使用百分比控制图时，要求的样本量很大，且α越小，样本量越大，如当α为0.01时，n要求在100以上。
顺便提一下，常规的过程能力计算公式也是建议在正态或近似正态分布的假设基础上的，因此也有类似的情况。其实过程能力Cp/Pp是规范容差与单值控制限容差的比值，因此当无法找到对应的分布时，可以将计算公式修改为：
Cp/Pp=(USL-LSL)/(x0.99865-x0.00135）
Cpk/Ppk=Min((USL-x0.5)/(x0.99865-x0.5），(x0.5-LSL)/(x0.5-x0.00135）)
有的人建议，当样本量不够大时，取α为0.01取代传统的0.0027来计算过程能力。
I-MR图的优点是容易绘制，缺点是不够敏感，容易犯第二种错误，即过程已经处于非统计控制状态，而不能识别出来，因此建议采用特殊的控制图，如累积和控制图，指数加权滑动平均控制图，来替代单值移动极差控制图。
2. 均值-极差/标准差控制图（ Xbar- R/s控制图）
Xbar图的上下控制限是 Xbar±A2Rbar 或 Xbar±A3sbar，中线是Xbar 。R图的上下限分别为D4Rbar ，D3Rbar ，中心线为 Rbar，s图的上下限分别为B4sbar ，B3sbar，中心线为 sbar。
均值-极差/标准差控制图（ - /s控制图）可用于子组的连续数据，由于均值的方差比个体的缩小了n倍（n为子组容量），因此其对异常因素带来的波动更敏感，识别能力更强，因此是使用较普遍的控制图。
使用 - /s控制图常见的错误有：1）均值分布不满足正态分布时，使用正态假设的控制图。2）子组的个体来自不同的分布或子组内的样品间具有相关性，导致控制图分层或很多点出界，而认为过程很好或失控的错误。3）将规范限放在控制图上，认为控制限在规范限内过程能力就很好，产品合格的错误。
1） 均值分布不满足正态分布时，使用正态假设的控制图。
中心极限定理认为，当个体的分布均值为μ，方差为σ2时，其均值近似服从均值为μ，方差为σ2/n的正态分布，因此通常情况下，均值-极差/标准差控制图的正态分布是可以用的。但是，当子组容量不够时，均值的近似效果并不好。因此当个体是正态分布时，可直接用该控制图；当个体是对称分布，且n≥5近似效果较好；当个体是非对称分布，近似正态分布所要求的样本容量与个体分布的偏度有关，偏度越大， n值也越大；建议对均值进行正态检验。如果不是正态分布，建议通过增加子组容量来修正，但是，当样本的量很大时，也会造成很大的测量浪费，此时，建议用均值的分布特点，找出概率分布分别为0.135%与99.865%所对应的值为控制界限，以使α与常规控制图一样。当然，我们也可以根据实际的需要，设定其它的α值做%控制图。
2） 子组的个体来自不同的分布或子组内的样品间具有相关性，导致控制图分层或很多点出界，而认为过程很好或失控的错误。
常规均值控制图中认为，当没有异常因素时，各子组间的样品间的波动是一样的，如:x1,x2,x3，y1,y2,y3是同一质量特性第i组与每j组的值，常规控制图认为在没有异常因素下，x1,x2,x3间的波动与x1,y1,y2，x1,x2,y1等的波动没有差别。于是，用组内的波动来计算控制限，来监控过程有无变异，为了确保组内的波动只是偶波，要求同一子组内的取样间隔在能包含各种偶波的情况下尽可能短。
当一个过程有多个工位时，直接将各工位的一次加工品作为一个子组时，常会犯这种错误，前者表现为控制图的分层，即点集中在控制图的中心线两侧；后者表现为控制图点分布正常，但很多点出界。分层的原因是当同一子组内的个体来自不同的分布，各个体的分布均值不同，因此极差或标准差的均值很大，基于极差或标准差的控制限范围就会很大，从而造成过程很好的假象，如果使用这种控制图，是很难检测出过程异常的。当同一子组内的个体具有相关性时，则子组间的极差或标准差就会很小，基于此的控制限范围就会小，因此会有很多点在控制限外。因此，如果遇到一台机器有多个工位时，在选择控制图前，可连续取30组样品，测量后对数据进行双因子的方差分析（工位号为一因子，子组号为一因子），看是否显著，如果都不显著，则可用常规控制图，否则，建议使用均值-组内极差-组间极差控制图，或每个工位做个控制图。
在网上看到有些人建议将同一料产品（如同一反应槽）的多次测量结果用作均值-极差/标准差控制图，这是后一种错误的一个例子，此时的产品是一个均匀的产品，其成分是一样的，因此多次测量结果之间的相关性是很高的，此时，建议取多次测量的均值作为单值来做控制图，以降低了测量过程中引入的波动。
3） 将规范限放在控制图上，认为控制限在规范限内过程能力就很好的错误。
这是一种很常见的错误。规范限是根据顾客及其它相关方对产品性能，安全性等方面的要求而人为制定的，而控制限则是由过程决定的。人们在说一个过程时，通常会说两个方面，一是过程的稳定性，控制图可用来监测过程是否稳定；二是过程的能力，即过程输出满足规范要求的能力，可用过程能力指数或性能指数来评估。因此稳定的过程并不一定是有能力的，有能力的过程也不一定稳定。规范限可以放在单值图中，直接与单值及其控制限比对，来了解过程的能力，但不能放在均值图中与均值及其控制限比对。由中心极限定理知道，均值的标准差缩小了√n倍，因此其控制限也缩小了√n倍，随着样本容量n的增大，均值会越来越趋近过程的中心。因此不具有可比性。
3. p图与np图
不合格品率控制图（p图）与不合格品数控制图（np图）用于计件的离散型数据，其控制限分别为 与 ，当公式求出的下限值为负时，下限取0。
不合格品数是服从二项分布，而该控制图是建议在近似正态分布的假设上的，为了让假设成立，同时也为了让控制图足够敏感，能检出异常的过程，应让npbar > 3（有的书上建议要大于5），因此可以用公式n > 3/pbar ，确定每次要抽检的产品数量。np图的样本量要求一致，而p图的样本量可以不一致。当样本量变化不大时，用平均样本量来计算p图的控制限；当样本量变化很大，即变化是平均样本量的20%以上时，要用下面的公式将数据转换成标准正态分布，转化后的控制限为±3.由于在日常检验中，样本量通常由批量决定，因此常会碰到样本量变化在的情况。
标准化的p= (p-pbar)/σp, σp =sqrt(pbar(1-pbar)/n)
4. c图与U图
不合格数控制图（c图）与单位不合格数（u图）用于计数的离散型数据，如产品上的瘕疵数，玻璃上的气孔数等。其控制限分别为 ±3 ， ±3 。与p图与np图一样，当下限为负时，取0。
不合格数服从泊松分布，而该控制图也是建议在近似正态分布的假设上的，为了让假设成立，同时也为了让控制图足够敏感，能检出异常的过程，应让 >7，样本量n由此公式n≥7/ 来计算。与不合格品（率）控制图一样，c图样本量要求一致；而u图的样本量可以不一致。当样本量变化不大时，用平均样本量来计算u图控制限；当样本量变化很大，即变化是平均样本量的20%以上时，要用下面的公式将数据转换成标准正态分布，转化后的控制限为±3.
标准化的u=(u-ubar)/σu；σu =sqrt(ubar/n)

总之，在做SPC中，首先要保证各质量特性值的有效性，其次，选择合适的控制图与样本容量是极其关键的。最后，要确定合适的抽样方案。研究阶段的控制图应确认以上各点。在生产使用中，当过程有发生变化时，要重新收集数据，确定新的样本容量，控制限与取样方案。SPC如果做得好，可以进行很好的控制，诊断，预测，如果做得不好，则是劳民伤财的一件事。