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统计过程控制（SPC）与休哈特控制图(一)
这里介绍SPC，控制图的重要性，控制图原理，判稳及判异准则，休哈特控制图，通用控制图。
第一章 统计过程控制（SPC）
一、什么是SPC
SPC是英文Statistical Process Control的字首简称，即统计过程控制。SPC就是应用统计技术对过程中的各个阶段进行监控，从而达到改进与保证质量的目的。SPC强调全过程的预防。
SPC给企业各类人员都带来好处。对于生产第一线的操作者，可用SPC方法改进他们的工作，对于管理干部，可用SPC方法消除在生产部门与质量管理部门间的传统的矛盾，对于领导干部，可用SPC方法控制产品质量，减少返工与浪费，提高生产率，最终可增加上缴利税。
SPC的特点是:（1）SPC是全系统的，全过程的，要求全员参加，人人有责。这点与全面质量管理的精神完全一致。(2) SPC强调用科学方法(主要是统计技术，尤其是控制图理论)来保证全过程的预防。（3）SPC不仅用于生产过程，而且可用于服务过程和一切管理过程。
二、SPC发展简史
过程控制的概念与实施过程监控的方法早在20世纪20年代就由美国的休哈特(W. A.Shewhart)提出。今天的SPC与当年的休哈特方法并无根本的区别。
在第二次世界大战后期，美国开始将休哈特方法在军工部门推行。但是，上述统计过程控制方法尚未在美国工业牢固扎根，第二次世界大战就已结束。战后，美国成为当时工业强大的国家，没有外来竞争力量去迫使美国公司改变传统方法，只存在美国国内的竞争。由于美国国内各公司都采用相似的方法进行生产，竞争性不够强，于是过程控制方法在1950~1980年这一阶段内，逐渐从美国工业中消失。
反之，战后经济遭受严重破坏的日本在1950年通过休哈特早期的一个同事戴明(W. Ed- wards Deming)博士，将SPC的概念引入日本。从1950～1980年，经过30年的努力，日本跃居世界质量与生产率的领先地位。美国著名质量管理专家伯格(Roger W. Berger)教授指出，日本成功的基石之一就是SPC。
在日本强有力的竞争之下，从80年代起，SPC在西方工业国家复兴，并列为高科技制（之一。 例如，加拿大钢铁公司(STELCO)在1988年列出的该公司七大高科技方向如下：(1)连铸，(2) 炉外精炼钢包冶金站，(3) 真空除气，(4) 电镀钵流水线，(5) 电子测量，(6) 高级电子计算机，(7) SPC。
美国从20世纪80年代起开始推行SPC。美国汽车工业已大规模推行了SPC，如福特汽车公司，通用汽车公司，克莱斯勒汽车公司等，上述美国三大汽车公司在ISO9000的基础上还联合制定了QS9000标准，在与汽车有关的行业中，颇为流行。美国钢铁工业也大力推行了SPC，如美国LTV钢铁公司，内陆钢铁公司，伯利恒钢铁公司等等。
三、什么是SPCD与SPCDA?
SPC迄今已经经历了三个发展阶段，即：SPC，SPCD及SPCDA。
1．第一阶段为SPC。SPC是美国休哈特在20世纪二、三十年代所创造的理论，它能以便人们采取措施，消除异常，恢复过程的稳定。这就是所科学地区分出生产过程中产品质量的偶然波动与异常波动，从而对过程的异常及时告警，谓统计过程控制。
2．第二个阶段为SPCD。SPCD是英文Statistical Process Control and Diagnosis的字首简称， 即统计过程控制与诊断。SPC虽然能对过程的异常进行告警，但是它并不能告诉我们是什么异常，发生于何处，即不能进行诊断。1982年我国张公绪首创两种质量诊断理论，突破了传统的美国休哈特质量控制理论，开辟了统计质量诊断的新方向。从此SPC上升为SPCD，SPCD是SPC 的进一步发展，也是SPC的第二个发展阶段。1994年张公绪教授与其博士生郑慧英博士提出多元逐步诊断理论，1996年张公绪教授又提出两种质量多元诊断理论，解决了多工序、多指标系统的质量控制与诊断问题。目前SPCD已进入实用性阶段，我国仍然居于领先地位。
3．第三个阶段为SPCDA。SPCD也是英文Statistical Process Control，Diagnosis and Adjustment的字首简称，即统计过程控制、诊断与调整。正如同病人确诊后要进行治疗，过程诊断后自然要加以调整，故SPCDA是SPCD的进一步发展，也是SPC的第三个发展阶段。这方面国外刚刚起步，他们称之为ASPC(Algorithmic Statistical Process Control，算法的统计过程控制)，目前尚无实用性的成果。张公绪教授与他的博士生也正在进行这方面的研究。
四、SPC和SPCD的进行步骤
进行SPC和SPCD有下列步骤：
步骤1：:培训SPC和SPCD。培训内容主要有下列各项：SPC的重要性，正态分布等统计基本知识，质量管理七种工具，其中特别是要对控制图深入学习，两种质量诊断理论，如何制订过程控制网图，如何制订过程控制标准等等。
步骤2：确定关键变量(即关键质量因素)。具体又分为以下两点：
(1) 对全厂每道工序都要进行分析(可用因果图)，找出对最终产品影响最大的变量，即关键变量(可用排列图)。如美国LTV钢铁公司共确定了大约20000个关键变量。
(2) 找出关键变量后，列出过程控制网图。所谓过程控制网图即在图中按工艺流程顺序将每道工序的关键变量列出。
步骤3：提出或改进规格标准。具体又分为以下两点：
(1) 对步骤2得到的每一个关键变量进行具体分析。
(2) 对每个关键变量建立过程控制标准，并填写过程控制标准表。
所在车间 控制点 控制因素 文件号 制定日期
控制内容
过程标准
控制理由
测量规定
数据报告途径
控制图
纠正性措施 有无建立控制图 控制图
类型 制定者
制定日期 批准者
批准日期
操作程序
审核程序
制定者 审核者 审核日期
过程控制标准表
本步骤最困难，最费时间，例如制定一个部门或车间的所有关键变量的过程控制标准，大约需要两个多人年（即一个人要工作量年多）。
步骤4：编制控制标准手册，在各部门落实。将具有立法性质的有关过程控制标准的文件编制成明确易懂、便于操作的手册，使各道工序使用。如美国LTV公司共编了600本上述手册。
步骤 5：对过程进行统计监控。主要应用控制图对过程进行监控。若发现问题，则需对上述控制标准手册进行修订，及反馈到步骤4。
步骤6:：对过程进行诊断并采取措施解决问题。可注意以下几点：
(1) 可以运用传统的质量管理方法，如七种工具，进行分析。
(2) 可以应用诊断理论，如两种质量诊断理论，进行分析和诊断。
(3) 在诊断后的纠正过程中有可能引出新的关键质量因素，即反馈到步骤2，3，4 。
推行SPC的效果是显著的。如美国率LTV公司1985年实施了SPC后，劳动生产率提高了20%以上。
五、宣贯ISO9000国际标准与推行SPC和SPCD的关系
ISO9000一1994年新版与1987年初版相比校，有三个强调：(1) 强调“把一切都看成过程"， (2) 强调“预防"， (3) 强调“统计技术的应用是不可剪裁的"。其实，这三者是互相联系、密切不可分的。众所周知，质量管理这门学科有个重要的特点，即对质量管理所提出的原则、方针、目标都要有科学方法和科学措施来加以保证。例如，强调预防就要应用统计方法(主要是应用SPC 和SPCD)和科学措施来保证它的实现。这样，后两个强调是紧密联系着的。其次，SPC即统计过程控制，故第一个强调也与后二者联系起来了。所以这三个强调是互相联系、密不可分的。企业推行ISO9000应该注意到这三个强调，在思想上应该明确：SPC和SPCD是推行ISO9000的基础。
第二章 控制图原理
一、控制图的重要性
贯彻预防原则是依靠推行SPC和SPCD来实现的，而居QC七个工具核心地位的控制图是 SPC和SPCD的重要工具。1984年日本名古屋工业大学调查了115家日本各行各业的中小型工厂，结果发现平均每家工厂使用137张控制图，这个数字对于我们推行SPC和SPCD是有一定的参考意义的。可以说，工厂中使用控制图的张数在某种意义上反映了管理现代化的程度。
二、什么是控制图
控制图是对过程质量加以测定、记录从而进行控制管理的一种用科学方法设计的图。图上有中心线(CL)、上控制界限(UCL)和下控制界限(LCL)，并有按时间顺序抽取的样本统计量数值的描点序列，参见控制图示例图。
三、控制图原理的第一种解释
假定某车间有部车床车制直径为10mm的机螺丝。为了了解机螺丝的质量，从车制好的机螺丝中抽出100个，测量并记录其直径数据，如表所示。
机螺丝直径数据(mm)
10.24 9.94 10.00 9.99 9.85 9.94 10.42 10.30 10.36 10.09
10.21 9.79 9.70 10.04 9.98 9.81 10.13 10.21 9.84 9.55
10.01 10.36 9.88 9.22 10.01 9.85 9.61 10.03 10.41 10.12
10.15 9.76 10.57 9.76 10.15 10.11 10.03 10.15 10.21 10.05
9.73 9.82 9.82 10.06 10.42 10.24 10.60 9.58 10.06 9.98
10.12 9.97 10.30 10.12 10.14 10.17 10.00 10.09 10.11 9.70
9.49 9.97 10.18 9.99 9.89 9.83 9.55 9.87 10.19 10.39
10.27 10.18 10.01 9.77 9.58 10.33 10.15 9.91 9.67 10.10
10.09 10.33 10.06 9.53 9.95 10.39 10.16 9.73 10.15 9.75
9.79 9.94 10.09 9.97 9.91 9.64 9.88 10.02 9.91 9.54
为找出这些数据的统计规律将它们分组、统计、作直方图，如机螺丝直径直方图所示。图中的直方高度与该组的频数成正比。
机螺丝直径直方图 直方图趋近光滑曲线
将各组的频数用数据总和N=100除，就得到各组的频率，它表示机螺丝直径属于各组的可能性大小。显然，各组频率之和为1。若以直方面积来表示该组的频率，则所有直方
分布曲线 正态分布曲线
面积总和也为1。这时，直方的高=直方面积/组距=频率/组距=频数/(N×组距)。因此，无论纵坐标取为频率或频率/组距，各直方的高都与频数成正比。故机螺丝直径直方图所示的直方图仍可用，只要再作一条频率纵轴和一条直方面积表示频率的纵轴，见直方图趋近光滑曲线图。
如果数据越多，分组越密，则机螺丝直径直方图的直方图也越趋近一条光滑曲线，如直方图趋近光滑曲线图所示。在极限情况下得到的光滑曲线即为分布曲线，它反映了产品质量的统计规律，如分布曲线图所示。在质量特性值为连续值时，最常见的典型分布为正态分布。例如机螺丝直径直方图中机螺丝直径的分布就是如此，它的特点是中间高、两头低、左右对称并延伸至无限。正态分布可用两个参数即均值μ和标准差σ来决定。
正态分布有一个结论对质量管理很有用，即无论均值μ和标准差σ。取何值，产品质量特性值落在μ±3σ之间的概率为99.73，于是落在μ±3σ之外的概率为100%一99.73%= 0.27%，而超过一侧，即大于μ-3σ或小于μ+3σ的概率为0.27%/2=0.135%≈1‰，如正态分布曲线图。这个结论十分重要。美国休哈特就根据这一事实提出了控制图。控制图的演变过程参见控制图的演变图。首先把正态分布曲线图按顺时针方向转90°成下图（控制图的演变a图），由于上下的数值大小不合常规，故再把控制图的演变图上下翻转180°而成下图（控制图的演变b图），这样就得到一张控制图，具体说是单值( χ)控制图。
现在结合机螺丝的例子来说明控制图的原理。设已知机螺丝直径的标准差为0.26mm，现从上表的数据算得样本均值 =10.10mm，于是有
μ+3σ≈ +3σ=10.00+3×0.26=10.78(mm)
μ≈ =10.00(mm)
μ-3σ≈ -3σ=10.00-3×0.26=9.22(mm)
参见x控制图。称μ+3σ为上控制界，记为UCL，称μ为中心线，记为CL，称μ-3σ为上控制界，记为LCL。这三者统称为控制线。规定中心线用实线绘制，上下控制界用虚线绘制。
为了控制螺丝的质量，每隔1小时随机抽取一个车好的螺丝，测量其直径，将结果描点在x控制图中，并用直线段将点子连结，以便于观察点子的变化趋势。由图可看出，前三个点子都在控制界内，但第四个点子超出上控制界。为了醒目，把它用小圆圈圈起来，表示这个机螺丝的直径过分粗了，应引起注意。现在对这第四个点子，应作何判断？根据正态分布的结论，在生产正常的条件下，点子超出上控制界的概率只有1‰左右，可能性非常小，可以认为它实际上不发生，若发生则认为生产中存在异常。而从x控制图也可看出，若生产异常，例如，由于车刀磨损，机螺丝直径将逐渐变粗， 增大，分布曲线将上移，这时分布曲线超出上控制界那部分面积 (用阴影区表示)可能达到千分之几十、几百，比1‰大得多，于是认为点子出界就判断异常。用数学语言来说，即根据小概率事件原理，小概率事件实际上不发生，若发生则判断异常。
在控制图上描点，实质上就是进行统计假设检验，即检验假设(已知σ=0.26mm)
:μ=10.00
:μ≠10.00
而控制图的上、下控制界即为接受域与拒绝域的分界限，点子落在上、下界限之间，表明 可接受，点子落在上、下界限之外，表明 应拒绝。
四、控制图原理的第二种解释
换个角度再来研究控制图的原理。根据来源的不同，质量因素可以分成4M1E五个方面。 但从对质量的影响大小来看，质量因素可分成偶然因素(简称偶因)与异常因素(简称异因)两类。偶因是始终存在的，对质量的影响微小，但难以除去，例如机床开动时的轻微振动等。异因则有时存在，对质量影响大，但不难除去，例如车刀磨损、固定机床的螺母松动等。
偶因引起质量的偶然波动(简称偶波)，异因引起质量的异常波动(简称异波)。偶波是不可避免的，但对质量的影响微小，故可把它看作背景噪声而听之任之。异波则不然，它对质量的影响大，且采取措施不难消除，故在过程中异波及造成异波的异因是我们注意的对象，一旦发生，就应该尽快找出，采取措施加以消除，并纳入标准化，保证它不再出现。
偶波与异波都是产品质量的波动，如何能发现异波的到来呢？经验与理论分析表明，当生产过程中只存在偶波时，产品质量将形成某种典型分布。例如，在车制螺丝的例子中形成正态分布。如果除去偶波外还有异波，则产品质量的分布必将偏离原来的典型分布。因此，根据典型分布是否偏离就能判断异波，即异因是否发生，而典型分布的偏离可由控制图检出。在上述车制螺丝的例子中，由于发生了车刀磨损的异因，螺丝直径的分布偏离了原来的正态分布而向上移动，于是点子超出上控制界的概率大为增加，从而点子频频出界，表明存在异波。控制图上的控制界限就是区分偶波与异波的科学界限。
根据上述，可以说休哈特控制图的实质是区分偶然因素与异常因素两类因素。
五、控制图是如何贯彻预防原则的
控制图是如何贯彻预防原则的呢？这可以由以下两点看出:
稳态是生产过程追求的目标，因为在稳态下生产，对质量有完全的把握，质量特性值有 99.73%落在上下控制界限之间的范围内(一般，合格品率还要高于99.73%);其次，在稳态下生产，不合格品最少，因而生产也是最经济的。
一道工序处于稳态称为稳定工序，道道工序都处于稳态称为全稳生产线。SPC就是通过全稳生产线达到全过程预防的。
综上所述，虽然质量变异不能完全消灭，但控制图是使质量变异成为最小的有效工具。
第三章两类错误和3σ方式
一、两类错误
控制图利用抽查对生产过程进行监控,因而是十分经济的。但既是抽查就不可能没有风险。在控制图的应用过程中可能会犯以下两类错误:
1.虚发警报的错误,也称第I类错误。在生产正常的情况下,纯粹出于偶然而点子出界的概率虽然很小,但总还不是绝对不可能发生的。因此,在生产正常、点子出界的场合,根据点子出界而判断生产异常就犯了虚发警报的错误或第I类错误,发生这种错误的概率通常记以α,参见两类错误发生的概率图
2.漏发警报的错误,也称第Ⅱ类错误。在生产异常的情况下,产品质量的分布偏离了典型分布,但总还有一部分产品的质量特性值是在上下控制界之内的。如果抽到这样的产品进行检测并在控制图中描点,这时由于点子未出界而判断生产正常就犯了漏发警报的错误或第Ⅱ类错误,发生这种错误的概率通常记以β,参见图两类错误发生的概率图。
由于控制图是通过抽查来监控产品质量的,故两类错误是不可避免的。在控制图上,中心线一般是对称轴,所能变动的只是上下控制限的间距。若将间距增大,则α减小而β增大,反之,则α增大而β减小。因此, 只能根据这两类错误造成的总损失最小来确定上下控制界限。
在第二章（三）中讨论控制图原理时曾经提到点子出界就判异,有的读者可能疑惑,如果是生产正常、点子偶然出界呢?现在,如果控制图是根据两类错误造成的总损失最小来确定的,那么根据“点子出界就判异”这样的准则来做,即使有时判断错误,但从长远看仍是合算的。
二、3σ方式
长期实践经验证明, 3σ方式即
UCL=μ+3σ
CL=μ (3.2-1)
LCL=μ-3σ
就是两类错误造成的总损失较小的控制界限。式中,μ为总体均值，σ为总体标准差,此时犯第 I类错误的概率或显著性水平α=0.0027。美国、日本和我国等大多数国家都采用3σ方式的控制图,而英国和北欧少数国家采用α=0.001的概率界限方式的控制图。这两者实际上相差无几。
要注意的是,在现场,把规格作为控制图的控制界限是不对的。规格是用来区分产品的合格与不合格,而控制图的控制界限是用来区分偶然波动与异常波动,即区分偶然因素与异常因素这两类因素的。利用规格界限显示产品质量合格或不合格的图是显示图,现场可以应用显示图,但不能作为控制图来使用。这二者不能混为一谈。
第四章 分析用控制图与控制用控制图
一、分析用控制图与控制用控制图
根据不同的用途,控制图分成两类,即分析用控制图与控制用控制图。
分析用控制图的主要目的是:(1) 分析生产过程是否处于稳态。若过程不处于稳态,则须调整过程,使之达到稳态。(2) 分析生产,过程的工序能力是否满足技术要求。若不满足,则需调整工序能力,使之满足。比利时学者威尔达(S.J.Wierda)称此状态为技术稳态,而前一状态为统计稳态。根据统计稳态与技术稳态的是否达到可以分为如状态分类表所示的四种情况:
状 态 分 类
统计稳态
是 否
技术
稳态 是 Ⅰ Ⅱ
否 III Ⅳ
当过程达到了我们所确定的状态后,才能将分析用控制图的控制线延长作为控制用控制图。 由于后者相当于生产中的,故由前者转为后者时应有正式交接手续。这里要用到判断稳态的准则(简称判稳准则),在稳定之前还要用到判断异常的准则(简称判异准则)。
应用控制用控制图的目的是使生产过程保持在确定的状态。在应用控制用控制图的过程中,若过程又发生异常,则应执行第二章（五）的20个字,使过程恢复原来的状态。
实施上述分析用控制图与控制用控制图的过程实际上就是不断进行质量改进的过程。
二、 哈特控制图的设计思想
休哈特控制图(简称休图)的设计思想是先确定第I类错误的概率σ,然后再根据第Ⅱ类错误的概率β的大小来考虑是否需要采取必要的措施。通常σ取为1%,5%,10%。为了增加使用者的信心,休哈特将σ取得特别小,小到2.7‰～3‰这样,对于“点出界就判异”这条判异准则来讲,虽不百发百中,也是千发九九七中了。但σ小,β就大。为了减少第Ⅱ类错误,对于控制图中的界内点增添了第Ⅱ类判异准则,即“界内点排列不随机判异”。于是判断异常的准则就有两大类:
(1) 点子出界就判断异常。
(2) 界内点排列不随机判断异常。
其中,第(2)类准则是防止β大的。
休图的设计并未根据两类错误所造成的总损失最小这点来进行。从80年代以来,经济质量管理(EQC)兴起,学术代表人物是德国乌尔茨堡大学EQC中心的冯•考拉尼教授。EQC强调经济上最优,所以控制图设计的发展趋势之一就是根据两类错误所造成的总损失最小这点来确定控制界限。
三、判断稳态的准则
稳态是生产过程追求的目标。那么如何用控制图判断过程是否处于稳态?为此,需要制定判断稳态的准则。
在统计量为正态分布的情况下,由于第I类错误的概率α=0.27%,取得很小,所以只要有一个点子在界外就可以判断有异常。但既然α很小,第Ⅱ类错误的概率β就大,只根据一个点子在界内远不能判断生产过程处于稳态。如果连续有许多点子,如25个点子,全部都在控制界限内,情况就大不相同。这时,根据概率乘法定理,总的β为β总= ,要比β减小很多。如果连续在控制界内的点子更多,则即使有个别点子出界,过程仍可看作是稳态的,这就是判稳准则。
判稳准则:在点子随机排列的情况下,符合下列各点之一就认为过程处于稳态:
(1) 连续25个点子都在控制界限内;
(2) 连续35个点子至多1个点子落在控制界限外;
(3) 连续100个点子至多2个点子落在控制界限外。
当然,即使在判断稳态的场合,对于界外点也必须执行第二章（五）的20个字来处理。
现在,进行一些概率计算以便对上述准则有更深入的理解。先分析准则(2)。若过程正常为正态分布,令d为界外点数,则连续35点,d≤1的概率为
P(连续35点,d≤1)= + (0.0027)=0.9959
于是,
P(连续35点,d>1)=1一P(连续35点,d≤1)=1 -0.9959=0.0041
这是与α0=0.0027为同一个数量级的小概率。因此,若过程处于稳态,则连续35点,在控制界外的点子超过1个点(d>1)的事件为小概率事件,它实际上不发生,若发生则判断过程失控α2=0.0041就是准则(2)的显著性水平。
类似地,对于准则(3)也可以计算得 ：P(连续100点,d>2)=0.0026
这与α0=0.0027很接近α3=0026就是准则(3)的显著性水平。
对于准则(1)可计算得 ： P(连续25点,d=0)= =0.9346
P(连续25点,d>0)=1-0.9346=0.0654
α1=0.0654就是准则(1)的显著性水平。可见α1要比α2、α3的大几十倍,这是很不相称的。因此,有的学者认为应将整个判断稳态的准则改成下列更合乎逻辑的提法:
若连续35个点中,在控制界限外的点超过2个,或连续100个点中,在控制界限外的点超过 3个,则判断过程失控。
四、判断异常的准则
在第二章(三)讨论控制图原理时,已经知道点子出界就判断异常,这是判断异常的最基本的一条准则。
为了增加控制图使用者的信心,第I类错误的概率α取为α0=0.0027,很小,于是第Ⅱ类错误的概率β就一定很大,针对这一点,即使对于在控制界限内的点子也要观察其排列是否随机。若界内点排列非随机,则判断异常。
判断异常的准则:符合下列各点之一就认为过程存在异常因素:
(1) 点子在控制界限外或恰在控制界限上;
(2) 控制界限内的点子排列不随机。
界内点排列不随机的模式很多,常见的有:点子屡屡接近控制界限、链、间断链、倾向、点子集中在中心线附近、点子呈周期性变化等等,在控制图的判断中要注意对这些模式的识别。既然界内点不随机排列这条准则是用来减少第Ⅱ类错误的概率β，所以它的各个模式的α就不能太小, 通常取为0.27%～2%,现在分别介绍如下:
模式1: 点子屡屡接近控制界限,参见连续3点中有2点接近控制界限判断异常图。所谓接近控制界限指点子距离控制界限在1σ以内。这时,属于下列情况的就判断点子排列不随机,存在异常因素:
(1) 连续3个点中,至少有2点接近控制界限;
(2) 连续7个点中,至少有3点接近控制界限;
(3) 连续10个点中,至少有4点接近控制界限。
直观看来,若点子接近一侧的控制界限,表明过程的均值有变化;若点子上下接近两侧的控制界限,则表明过程的方差增大。注意,这三条准则是以至少有2点、3点、4点来排列的。下面进行一些概率计算。在过程正常为正态分布的情况下,点子在控制图中心线两侧超过2σ界限而仍在3σ界限内的概率为
P(μ+2σ≤x≤μ+3σ)=2=2=0.0428
式中,φ(3)=0.99865,φ(2)=0.97725，参见标准正态分布表。而点子在中心线两侧未超过2σ界限的概率为
P(μ-2σ≤x≤μ+2σ)=2 ==0.9545
于是,若过程正常,则模式Ⅰ准则(1)的情况出现的概率为
P{连续3个点中至少有2点接近控制极限}= (0.9545)+ =0.0053
这也就是模式1准则(1)的显著性水平σ。
类似地,可以计算出模式1准则(2)和准则(3)的情况出现的概率分别为(计算略):
P{连续7个点中至少有3点接近控制界限}=0.0024
P{连续10个点中至少有4点接近控制界限}=0.0006
根据上述计算,可见模式1的三个准则的显著性水平分别为0.0053、0.0024，0.0006,是不太相称的,主要是准则(3)的显著性水平偏低一些。事实上,如果把准则(3)的显著性水平调高到与准则(1)、准则(2)相称,考虑到
P{连续13个点中至少有4点接近控制界限}=0.0018
P{连续14个点中至少有4点接近控制界限}=0.0023
P{连续15个点中至少有4点接近控制界限}=0.0030
故准则(3)中的“连续10点,,要改成“连续14点或更多点子”才能使其显著性水平调高到与准则 (1)、准则(2)相称。
注意,后两条准则由于需要观察的点子数较多,应用起来不很方便,所以主要应用第一条,即连续3个点中,至少有2点接近控制界限判异。
模式2:链。在控制图中心线一侧连续出现的点称为链,其点子数目称作链长,参见长为7的链图链长不少于7时判断点子排列非随机,存在异常因素。直观看来,出现链表示过程均值向链这一侧偏移。现在进行一些概率计算。在过程正常为正态分布的情况下,点子在控制图控制界限内中心线指定的一侧出现的概率为0.9973/2,则在控制图中心线一侧出现长为7的链的概率为
P{中心线一侧出现长为7的链}== 2 =0.0153
这就是模式2的显著性水平。附带说明一下,国外也有取9点链作为判异准则的,这时的显著性水平为
P{中心线一侧出现长为9的链}=2 =0.0038
如果链较长,那么即使个别点子出现在中心线的另一侧而形成间断链,也可按照与链类似的方式处理。
模式3: 间断链,参见连续11点中有10个点在一侧判断异常图。属下列情况的判断点子排列非随机,存在异常因素:
(1) 连续11个点中,至少有10点在中心线一侧;
(2) 连续14个点中,至少有12点在中心线一侧;
(3) 连续17个点中,至少有14点在中心线一侧;
(4) 连续20个点中,至少有16点在中心线一侧。
显然,上述准则是按照至少有10点、12点、14点、16点来排列的。在过程正常为正态分布的情况下,上述准则情况出现的概率分别为
P{连续11个点中,至少有10点在中心线一侧}≈0.0114
P{连续14个点中,至少有12点在中心线一侧}≈250.0125
P{连续17个点中,至少有14,嵌在中心线一侧}≈0.0122
P{连续20个点中,至少有16点在中心线一侧}≈0.0112
可见,模式3四个准则的显著性水平是相称的,而且都在1%～2%之间。实际上,后三条准则由于需要观察的点数过多,使用起来不方便,所以是较少应用的。
模式4:倾向,点子逐渐上升或下降的状态称为倾向。当有连续不少于7个点的上升或下降的倾向时判断点子排列非随机,存在异常因素,参见7点下降倾向判断异常图。直观看来,出现倾向表明过程均值逐渐增大或逐渐减少。现在进行一些概率计算,可以证明,在过程正常为正态分布的情况下,出现n点倾向的概率为
P{n点顷向}= (4.4-1)
令yi,i=12,...,n为界内点的纵坐标,下标i为标点序号,则n个界内点高低排列的所有可能的事件共有 =n! 个,其中对倾向有利的事件只有两个,即
y1＜y2＜...＜yn (上升有利事件)
y1＞y2＞...＞yn （下降有利事件）
当过程正常时,y1, y2,...,yn互相独立,且为同分布,故此n!个事件等概率,易见此n!个事件也是互不相容的。考虑点子在控制界限内,于是式P{n点顷向}= 成立。由此得
P{7点倾向}= =0.00039
P{6点倾向}= =0.00273
P{5点倾向}= =0.01644
可见,6点倾向的显著性水平α=0.00273,而7点倾向的显著性水平α=0.00039。现在国家标准与国外的作法一样,都是规定7点倾向判异。
模式5:点子集中在中心线附近。所谓中心线附近指点子距离中心线在1σ以内,参见图 连续15点集中在中心线附近判断异常。直观看来,出现模式5表明过程方差异常小。通常,模式5可能由下列两个原因所致: 数据不真实或数据分层不当。如果把方差大的数据与方差
小的数据混在一起而未分层,则数据总的方差将更大。于是控制图控制界限的问隔距离也将较大,这时如将方差小的数据描点就可能出现模式5。现在进行一些概率计算。在过程正常
为正态分布的情况下,点子落于中心线两 侧1α界限内的概率为
P（μ-σ≤x≤μ+σ）=2=2=0.6826
式中, φ（1）与φ（0）内的由附录Ⅰ标准正态分布表查得。于是,对于模式5计算下列情况出现的概率
P(连续11点集中在中心线附近)= =0.0150
P(连续12点集中在中心线附近)= =0.0102
P(连续13点集中在中心线附近)= =0.0070
P(连续14点集中在中心线附近)= =0.0048
P(连续15点集中在中心线附近)= =0.0033
P(连续16点集中在中心线附近)= =0.0022
由此,模式5可采用下列准则:若连续15点集中在中心线附近判异。国外也采用这一准则。
模式6:点子呈现周期性变化,参见点子呈现周期性变化图。造成点子周期性变化可能有下列原因:操作人员疲劳、原材料的发送有问题、某些化工过程热积累或某些机械设备应用过程中的应力积累等。消除上的讨论述周期性变化可以减少产品质量的波动,改进产品的质量。注意，所有本章的讨论适用于所有的休哈特控制图。其次，在判断异常时，也可以同时应用若干个判异准则。
这里介绍SPC，控制图的重要性，控制图原理，判稳及判异准则，休哈特控制图，通用控制图。
第一章 统计过程控制（SPC）
一、什么是SPC
SPC是英文Statistical Process Control的字首简称，即统计过程控制。SPC就是应用统计技术对过程中的各个阶段进行监控，从而达到改进与保证质量的目的。SPC强调全过程的预防。
SPC给企业各类人员都带来好处。对于生产第一线的操作者，可用SPC方法改进他们的工作，对于管理干部，可用SPC方法消除在生产部门与质量管理部门间的传统的矛盾，对于领导干部，可用SPC方法控制产品质量，减少返工与浪费，提高生产率，最终可增加上缴利税。
SPC的特点是:（1）SPC是全系统的，全过程的，要求全员参加，人人有责。这点与全面质量管理的精神完全一致。(2) SPC强调用科学方法(主要是统计技术，尤其是控制图理论)来保证全过程的预防。（3）SPC不仅用于生产过程，而且可用于服务过程和一切管理过程。
二、SPC发展简史
过程控制的概念与实施过程监控的方法早在20世纪20年代就由美国的休哈特(W. A.Shewhart)提出。今天的SPC与当年的休哈特方法并无根本的区别。
在第二次世界大战后期，美国开始将休哈特方法在军工部门推行。但是，上述统计过程控制方法尚未在美国工业牢固扎根，第二次世界大战就已结束。战后，美国成为当时工业强大的国家，没有外来竞争力量去迫使美国公司改变传统方法，只存在美国国内的竞争。由于美国国内各公司都采用相似的方法进行生产，竞争性不够强，于是过程控制方法在1950~1980年这一阶段内，逐渐从美国工业中消失。
反之，战后经济遭受严重破坏的日本在1950年通过休哈特早期的一个同事戴明(W. Ed- wards Deming)博士，将SPC的概念引入日本。从1950～1980年，经过30年的努力，日本跃居世界质量与生产率的领先地位。美国著名质量管理专家伯格(Roger W. Berger)教授指出，日本成功的基石之一就是SPC。
在日本强有力的竞争之下，从80年代起，SPC在西方工业国家复兴，并列为高科技制（之一。 例如，加拿大钢铁公司(STELCO)在1988年列出的该公司七大高科技方向如下：(1)连铸，(2) 炉外精炼钢包冶金站，(3) 真空除气，(4) 电镀钵流水线，(5) 电子测量，(6) 高级电子计算机，(7) SPC。
美国从20世纪80年代起开始推行SPC。美国汽车工业已大规模推行了SPC，如福特汽车公司，通用汽车公司，克莱斯勒汽车公司等，上述美国三大汽车公司在ISO9000的基础上还联合制定了QS9000标准，在与汽车有关的行业中，颇为流行。美国钢铁工业也大力推行了SPC，如美国LTV钢铁公司，内陆钢铁公司，伯利恒钢铁公司等等。
三、什么是SPCD与SPCDA?
SPC迄今已经经历了三个发展阶段，即：SPC，SPCD及SPCDA。
1．第一阶段为SPC。SPC是美国休哈特在20世纪二、三十年代所创造的理论，它能以便人们采取措施，消除异常，恢复过程的稳定。这就是所科学地区分出生产过程中产品质量的偶然波动与异常波动，从而对过程的异常及时告警，谓统计过程控制。
2．第二个阶段为SPCD。SPCD是英文Statistical Process Control and Diagnosis的字首简称， 即统计过程控制与诊断。SPC虽然能对过程的异常进行告警，但是它并不能告诉我们是什么异常，发生于何处，即不能进行诊断。1982年我国张公绪首创两种质量诊断理论，突破了传统的美国休哈特质量控制理论，开辟了统计质量诊断的新方向。从此SPC上升为SPCD，SPCD是SPC 的进一步发展，也是SPC的第二个发展阶段。1994年张公绪教授与其博士生郑慧英博士提出多元逐步诊断理论，1996年张公绪教授又提出两种质量多元诊断理论，解决了多工序、多指标系统的质量控制与诊断问题。目前SPCD已进入实用性阶段，我国仍然居于领先地位。
3．第三个阶段为SPCDA。SPCD也是英文Statistical Process Control，Diagnosis and Adjustment的字首简称，即统计过程控制、诊断与调整。正如同病人确诊后要进行治疗，过程诊断后自然要加以调整，故SPCDA是SPCD的进一步发展，也是SPC的第三个发展阶段。这方面国外刚刚起步，他们称之为ASPC(Algorithmic Statistical Process Control，算法的统计过程控制)，目前尚无实用性的成果。张公绪教授与他的博士生也正在进行这方面的研究。
四、SPC和SPCD的进行步骤
进行SPC和SPCD有下列步骤：
步骤1：:培训SPC和SPCD。培训内容主要有下列各项：SPC的重要性，正态分布等统计基本知识，质量管理七种工具，其中特别是要对控制图深入学习，两种质量诊断理论，如何制订过程控制网图，如何制订过程控制标准等等。
步骤2：确定关键变量(即关键质量因素)。具体又分为以下两点：
(1) 对全厂每道工序都要进行分析(可用因果图)，找出对最终产品影响最大的变量，即关键变量(可用排列图)。如美国LTV钢铁公司共确定了大约20000个关键变量。
(2) 找出关键变量后，列出过程控制网图。所谓过程控制网图即在图中按工艺流程顺序将每道工序的关键变量列出。
步骤3：提出或改进规格标准。具体又分为以下两点：
(1) 对步骤2得到的每一个关键变量进行具体分析。
(2) 对每个关键变量建立过程控制标准，并填写过程控制标准表。
所在车间 控制点 控制因素 文件号 制定日期
控制内容
过程标准
控制理由
测量规定
数据报告途径
控制图
纠正性措施 有无建立控制图 控制图
类型 制定者
制定日期 批准者
批准日期
操作程序
审核程序
制定者 审核者 审核日期
过程控制标准表
本步骤最困难，最费时间，例如制定一个部门或车间的所有关键变量的过程控制标准，大约需要两个多人年（即一个人要工作量年多）。
步骤4：编制控制标准手册，在各部门落实。将具有立法性质的有关过程控制标准的文件编制成明确易懂、便于操作的手册，使各道工序使用。如美国LTV公司共编了600本上述手册。
步骤 5：对过程进行统计监控。主要应用控制图对过程进行监控。若发现问题，则需对上述控制标准手册进行修订，及反馈到步骤4。
步骤6:：对过程进行诊断并采取措施解决问题。可注意以下几点：
(1) 可以运用传统的质量管理方法，如七种工具，进行分析。
(2) 可以应用诊断理论，如两种质量诊断理论，进行分析和诊断。
(3) 在诊断后的纠正过程中有可能引出新的关键质量因素，即反馈到步骤2，3，4 。
推行SPC的效果是显著的。如美国率LTV公司1985年实施了SPC后，劳动生产率提高了20%以上。
五、宣贯ISO9000国际标准与推行SPC和SPCD的关系
ISO9000一1994年新版与1987年初版相比校，有三个强调：(1) 强调“把一切都看成过程"， (2) 强调“预防"， (3) 强调“统计技术的应用是不可剪裁的"。其实，这三者是互相联系、密切不可分的。众所周知，质量管理这门学科有个重要的特点，即对质量管理所提出的原则、方针、目标都要有科学方法和科学措施来加以保证。例如，强调预防就要应用统计方法(主要是应用SPC 和SPCD)和科学措施来保证它的实现。这样，后两个强调是紧密联系着的。其次，SPC即统计过程控制，故第一个强调也与后二者联系起来了。所以这三个强调是互相联系、密不可分的。企业推行ISO9000应该注意到这三个强调，在思想上应该明确：SPC和SPCD是推行ISO9000的基础。
第二章 控制图原理
一、控制图的重要性
贯彻预防原则是依靠推行SPC和SPCD来实现的，而居QC七个工具核心地位的控制图是 SPC和SPCD的重要工具。1984年日本名古屋工业大学调查了115家日本各行各业的中小型工厂，结果发现平均每家工厂使用137张控制图，这个数字对于我们推行SPC和SPCD是有一定的参考意义的。可以说，工厂中使用控制图的张数在某种意义上反映了管理现代化的程度。
二、什么是控制图
控制图是对过程质量加以测定、记录从而进行控制管理的一种用科学方法设计的图。图上有中心线(CL)、上控制界限(UCL)和下控制界限(LCL)，并有按时间顺序抽取的样本统计量数值的描点序列，参见控制图示例图。
三、控制图原理的第一种解释
假定某车间有部车床车制直径为10mm的机螺丝。为了了解机螺丝的质量，从车制好的机螺丝中抽出100个，测量并记录其直径数据，如表所示。
机螺丝直径数据(mm)
10.24 9.94 10.00 9.99 9.85 9.94 10.42 10.30 10.36 10.09
10.21 9.79 9.70 10.04 9.98 9.81 10.13 10.21 9.84 9.55
10.01 10.36 9.88 9.22 10.01 9.85 9.61 10.03 10.41 10.12
10.15 9.76 10.57 9.76 10.15 10.11 10.03 10.15 10.21 10.05
9.73 9.82 9.82 10.06 10.42 10.24 10.60 9.58 10.06 9.98
10.12 9.97 10.30 10.12 10.14 10.17 10.00 10.09 10.11 9.70
9.49 9.97 10.18 9.99 9.89 9.83 9.55 9.87 10.19 10.39
10.27 10.18 10.01 9.77 9.58 10.33 10.15 9.91 9.67 10.10
10.09 10.33 10.06 9.53 9.95 10.39 10.16 9.73 10.15 9.75
9.79 9.94 10.09 9.97 9.91 9.64 9.88 10.02 9.91 9.54
为找出这些数据的统计规律将它们分组、统计、作直方图，如机螺丝直径直方图所示。图中的直方高度与该组的频数成正比。
机螺丝直径直方图 直方图趋近光滑曲线
将各组的频数用数据总和N=100除，就得到各组的频率，它表示机螺丝直径属于各组的可能性大小。显然，各组频率之和为1。若以直方面积来表示该组的频率，则所有直方
分布曲线 正态分布曲线
面积总和也为1。这时，直方的高=直方面积/组距=频率/组距=频数/(N×组距)。因此，无论纵坐标取为频率或频率/组距，各直方的高都与频数成正比。故机螺丝直径直方图所示的直方图仍可用，只要再作一条频率纵轴和一条直方面积表示频率的纵轴，见直方图趋近光滑曲线图。
如果数据越多，分组越密，则机螺丝直径直方图的直方图也越趋近一条光滑曲线，如直方图趋近光滑曲线图所示。在极限情况下得到的光滑曲线即为分布曲线，它反映了产品质量的统计规律，如分布曲线图所示。在质量特性值为连续值时，最常见的典型分布为正态分布。例如机螺丝直径直方图中机螺丝直径的分布就是如此，它的特点是中间高、两头低、左右对称并延伸至无限。正态分布可用两个参数即均值μ和标准差σ来决定。
正态分布有一个结论对质量管理很有用，即无论均值μ和标准差σ。取何值，产品质量特性值落在μ±3σ之间的概率为99.73，于是落在μ±3σ之外的概率为100%一99.73%= 0.27%，而超过一侧，即大于μ-3σ或小于μ+3σ的概率为0.27%/2=0.135%≈1‰，如正态分布曲线图。这个结论十分重要。美国休哈特就根据这一事实提出了控制图。控制图的演变过程参见控制图的演变图。首先把正态分布曲线图按顺时针方向转90°成下图（控制图的演变a图），由于上下的数值大小不合常规，故再把控制图的演变图上下翻转180°而成下图（控制图的演变b图），这样就得到一张控制图，具体说是单值( χ)控制图。
现在结合机螺丝的例子来说明控制图的原理。设已知机螺丝直径的标准差为0.26mm，现从上表的数据算得样本均值 =10.10mm，于是有
μ+3σ≈ +3σ=10.00+3×0.26=10.78(mm)
μ≈ =10.00(mm)
μ-3σ≈ -3σ=10.00-3×0.26=9.22(mm)
参见x控制图。称μ+3σ为上控制界，记为UCL，称μ为中心线，记为CL，称μ-3σ为上控制界，记为LCL。这三者统称为控制线。规定中心线用实线绘制，上下控制界用虚线绘制。
为了控制螺丝的质量，每隔1小时随机抽取一个车好的螺丝，测量其直径，将结果描点在x控制图中，并用直线段将点子连结，以便于观察点子的变化趋势。由图可看出，前三个点子都在控制界内，但第四个点子超出上控制界。为了醒目，把它用小圆圈圈起来，表示这个机螺丝的直径过分粗了，应引起注意。现在对这第四个点子，应作何判断？根据正态分布的结论，在生产正常的条件下，点子超出上控制界的概率只有1‰左右，可能性非常小，可以认为它实际上不发生，若发生则认为生产中存在异常。而从x控制图也可看出，若生产异常，例如，由于车刀磨损，机螺丝直径将逐渐变粗， 增大，分布曲线将上移，这时分布曲线超出上控制界那部分面积 (用阴影区表示)可能达到千分之几十、几百，比1‰大得多，于是认为点子出界就判断异常。用数学语言来说，即根据小概率事件原理，小概率事件实际上不发生，若发生则判断异常。
在控制图上描点，实质上就是进行统计假设检验，即检验假设(已知σ=0.26mm)
:μ=10.00
:μ≠10.00
而控制图的上、下控制界即为接受域与拒绝域的分界限，点子落在上、下界限之间，表明 可接受，点子落在上、下界限之外，表明 应拒绝。
四、控制图原理的第二种解释
换个角度再来研究控制图的原理。根据来源的不同，质量因素可以分成4M1E五个方面。 但从对质量的影响大小来看，质量因素可分成偶然因素(简称偶因)与异常因素(简称异因)两类。偶因是始终存在的，对质量的影响微小，但难以除去，例如机床开动时的轻微振动等。异因则有时存在，对质量影响大，但不难除去，例如车刀磨损、固定机床的螺母松动等。
偶因引起质量的偶然波动(简称偶波)，异因引起质量的异常波动(简称异波)。偶波是不可避免的，但对质量的影响微小，故可把它看作背景噪声而听之任之。异波则不然，它对质量的影响大，且采取措施不难消除，故在过程中异波及造成异波的异因是我们注意的对象，一旦发生，就应该尽快找出，采取措施加以消除，并纳入标准化，保证它不再出现。
偶波与异波都是产品质量的波动，如何能发现异波的到来呢？经验与理论分析表明，当生产过程中只存在偶波时，产品质量将形成某种典型分布。例如，在车制螺丝的例子中形成正态分布。如果除去偶波外还有异波，则产品质量的分布必将偏离原来的典型分布。因此，根据典型分布是否偏离就能判断异波，即异因是否发生，而典型分布的偏离可由控制图检出。在上述车制螺丝的例子中，由于发生了车刀磨损的异因，螺丝直径的分布偏离了原来的正态分布而向上移动，于是点子超出上控制界的概率大为增加，从而点子频频出界，表明存在异波。控制图上的控制界限就是区分偶波与异波的科学界限。
根据上述，可以说休哈特控制图的实质是区分偶然因素与异常因素两类因素。
五、控制图是如何贯彻预防原则的
控制图是如何贯彻预防原则的呢？这可以由以下两点看出:
- 应用控制图对生产过程不断监控，当异常因素刚一露出苗头，甚至在未造成不合格品之前就能及时被发现。例如，在控制图重点子形成倾向图中点子有逐渐上升的趋势，所以可以在这种趋势造成不合格品之前就采取措施加以消除，起到预防的作用。
稳态是生产过程追求的目标，因为在稳态下生产，对质量有完全的把握，质量特性值有 99.73%落在上下控制界限之间的范围内(一般，合格品率还要高于99.73%);其次，在稳态下生产，不合格品最少，因而生产也是最经济的。
一道工序处于稳态称为稳定工序，道道工序都处于稳态称为全稳生产线。SPC就是通过全稳生产线达到全过程预防的。
综上所述，虽然质量变异不能完全消灭，但控制图是使质量变异成为最小的有效工具。
第三章两类错误和3σ方式
一、两类错误
控制图利用抽查对生产过程进行监控,因而是十分经济的。但既是抽查就不可能没有风险。在控制图的应用过程中可能会犯以下两类错误:
1.虚发警报的错误,也称第I类错误。在生产正常的情况下,纯粹出于偶然而点子出界的概率虽然很小,但总还不是绝对不可能发生的。因此,在生产正常、点子出界的场合,根据点子出界而判断生产异常就犯了虚发警报的错误或第I类错误,发生这种错误的概率通常记以α,参见两类错误发生的概率图
2.漏发警报的错误,也称第Ⅱ类错误。在生产异常的情况下,产品质量的分布偏离了典型分布,但总还有一部分产品的质量特性值是在上下控制界之内的。如果抽到这样的产品进行检测并在控制图中描点,这时由于点子未出界而判断生产正常就犯了漏发警报的错误或第Ⅱ类错误,发生这种错误的概率通常记以β,参见图两类错误发生的概率图。
由于控制图是通过抽查来监控产品质量的,故两类错误是不可避免的。在控制图上,中心线一般是对称轴,所能变动的只是上下控制限的间距。若将间距增大,则α减小而β增大,反之,则α增大而β减小。因此, 只能根据这两类错误造成的总损失最小来确定上下控制界限。
在第二章（三）中讨论控制图原理时曾经提到点子出界就判异,有的读者可能疑惑,如果是生产正常、点子偶然出界呢?现在,如果控制图是根据两类错误造成的总损失最小来确定的,那么根据“点子出界就判异”这样的准则来做,即使有时判断错误,但从长远看仍是合算的。
二、3σ方式
长期实践经验证明, 3σ方式即
UCL=μ+3σ
CL=μ (3.2-1)
LCL=μ-3σ
就是两类错误造成的总损失较小的控制界限。式中,μ为总体均值，σ为总体标准差,此时犯第 I类错误的概率或显著性水平α=0.0027。美国、日本和我国等大多数国家都采用3σ方式的控制图,而英国和北欧少数国家采用α=0.001的概率界限方式的控制图。这两者实际上相差无几。
要注意的是,在现场,把规格作为控制图的控制界限是不对的。规格是用来区分产品的合格与不合格,而控制图的控制界限是用来区分偶然波动与异常波动,即区分偶然因素与异常因素这两类因素的。利用规格界限显示产品质量合格或不合格的图是显示图,现场可以应用显示图,但不能作为控制图来使用。这二者不能混为一谈。
第四章 分析用控制图与控制用控制图
一、分析用控制图与控制用控制图
根据不同的用途,控制图分成两类,即分析用控制图与控制用控制图。
分析用控制图的主要目的是:(1) 分析生产过程是否处于稳态。若过程不处于稳态,则须调整过程,使之达到稳态。(2) 分析生产,过程的工序能力是否满足技术要求。若不满足,则需调整工序能力,使之满足。比利时学者威尔达(S.J.Wierda)称此状态为技术稳态,而前一状态为统计稳态。根据统计稳态与技术稳态的是否达到可以分为如状态分类表所示的四种情况:
状 态 分 类
统计稳态
是 否
技术
稳态 是 Ⅰ Ⅱ
否 III Ⅳ
- 状态Ⅰ: 统计稳态与技术稳态同时达到,这是最理想的状态。
- 状态Ⅱ: 统计稳态未达到,技术稳态达到。
- 状态III: 统计稳态达到,技术稳态未达到。
- 状态IV: 统计稳态与技术稳态均未达到。这是最不理想的状态。
当过程达到了我们所确定的状态后,才能将分析用控制图的控制线延长作为控制用控制图。 由于后者相当于生产中的,故由前者转为后者时应有正式交接手续。这里要用到判断稳态的准则(简称判稳准则),在稳定之前还要用到判断异常的准则(简称判异准则)。
应用控制用控制图的目的是使生产过程保持在确定的状态。在应用控制用控制图的过程中,若过程又发生异常,则应执行第二章（五）的20个字,使过程恢复原来的状态。
实施上述分析用控制图与控制用控制图的过程实际上就是不断进行质量改进的过程。
二、 哈特控制图的设计思想
休哈特控制图(简称休图)的设计思想是先确定第I类错误的概率σ,然后再根据第Ⅱ类错误的概率β的大小来考虑是否需要采取必要的措施。通常σ取为1%,5%,10%。为了增加使用者的信心,休哈特将σ取得特别小,小到2.7‰～3‰这样,对于“点出界就判异”这条判异准则来讲,虽不百发百中,也是千发九九七中了。但σ小,β就大。为了减少第Ⅱ类错误,对于控制图中的界内点增添了第Ⅱ类判异准则,即“界内点排列不随机判异”。于是判断异常的准则就有两大类:
(1) 点子出界就判断异常。
(2) 界内点排列不随机判断异常。
其中,第(2)类准则是防止β大的。
休图的设计并未根据两类错误所造成的总损失最小这点来进行。从80年代以来,经济质量管理(EQC)兴起,学术代表人物是德国乌尔茨堡大学EQC中心的冯•考拉尼教授。EQC强调经济上最优,所以控制图设计的发展趋势之一就是根据两类错误所造成的总损失最小这点来确定控制界限。
三、判断稳态的准则
稳态是生产过程追求的目标。那么如何用控制图判断过程是否处于稳态?为此,需要制定判断稳态的准则。
在统计量为正态分布的情况下,由于第I类错误的概率α=0.27%,取得很小,所以只要有一个点子在界外就可以判断有异常。但既然α很小,第Ⅱ类错误的概率β就大,只根据一个点子在界内远不能判断生产过程处于稳态。如果连续有许多点子,如25个点子,全部都在控制界限内,情况就大不相同。这时,根据概率乘法定理,总的β为β总= ,要比β减小很多。如果连续在控制界内的点子更多,则即使有个别点子出界,过程仍可看作是稳态的,这就是判稳准则。
判稳准则:在点子随机排列的情况下,符合下列各点之一就认为过程处于稳态:
(1) 连续25个点子都在控制界限内;
(2) 连续35个点子至多1个点子落在控制界限外;
(3) 连续100个点子至多2个点子落在控制界限外。
当然,即使在判断稳态的场合,对于界外点也必须执行第二章（五）的20个字来处理。
现在,进行一些概率计算以便对上述准则有更深入的理解。先分析准则(2)。若过程正常为正态分布,令d为界外点数,则连续35点,d≤1的概率为
P(连续35点,d≤1)= + (0.0027)=0.9959
于是,
P(连续35点,d>1)=1一P(连续35点,d≤1)=1 -0.9959=0.0041
这是与α0=0.0027为同一个数量级的小概率。因此,若过程处于稳态,则连续35点,在控制界外的点子超过1个点(d>1)的事件为小概率事件,它实际上不发生,若发生则判断过程失控α2=0.0041就是准则(2)的显著性水平。
类似地,对于准则(3)也可以计算得 ：P(连续100点,d>2)=0.0026
这与α0=0.0027很接近α3=0026就是准则(3)的显著性水平。
对于准则(1)可计算得 ： P(连续25点,d=0)= =0.9346
P(连续25点,d>0)=1-0.9346=0.0654
α1=0.0654就是准则(1)的显著性水平。可见α1要比α2、α3的大几十倍,这是很不相称的。因此,有的学者认为应将整个判断稳态的准则改成下列更合乎逻辑的提法:
若连续35个点中,在控制界限外的点超过2个,或连续100个点中,在控制界限外的点超过 3个,则判断过程失控。
四、判断异常的准则
在第二章(三)讨论控制图原理时,已经知道点子出界就判断异常,这是判断异常的最基本的一条准则。
为了增加控制图使用者的信心,第I类错误的概率α取为α0=0.0027,很小,于是第Ⅱ类错误的概率β就一定很大,针对这一点,即使对于在控制界限内的点子也要观察其排列是否随机。若界内点排列非随机,则判断异常。
判断异常的准则:符合下列各点之一就认为过程存在异常因素:
(1) 点子在控制界限外或恰在控制界限上;
(2) 控制界限内的点子排列不随机。
界内点排列不随机的模式很多,常见的有:点子屡屡接近控制界限、链、间断链、倾向、点子集中在中心线附近、点子呈周期性变化等等,在控制图的判断中要注意对这些模式的识别。既然界内点不随机排列这条准则是用来减少第Ⅱ类错误的概率β，所以它的各个模式的α就不能太小, 通常取为0.27%～2%,现在分别介绍如下:
模式1: 点子屡屡接近控制界限,参见连续3点中有2点接近控制界限判断异常图。所谓接近控制界限指点子距离控制界限在1σ以内。这时,属于下列情况的就判断点子排列不随机,存在异常因素:
(1) 连续3个点中,至少有2点接近控制界限;
(2) 连续7个点中,至少有3点接近控制界限;
(3) 连续10个点中,至少有4点接近控制界限。
直观看来,若点子接近一侧的控制界限,表明过程的均值有变化;若点子上下接近两侧的控制界限,则表明过程的方差增大。注意,这三条准则是以至少有2点、3点、4点来排列的。下面进行一些概率计算。在过程正常为正态分布的情况下,点子在控制图中心线两侧超过2σ界限而仍在3σ界限内的概率为
P(μ+2σ≤x≤μ+3σ)=2=2=0.0428
式中,φ(3)=0.99865,φ(2)=0.97725，参见标准正态分布表。而点子在中心线两侧未超过2σ界限的概率为
P(μ-2σ≤x≤μ+2σ)=2 ==0.9545
于是,若过程正常,则模式Ⅰ准则(1)的情况出现的概率为
P{连续3个点中至少有2点接近控制极限}= (0.9545)+ =0.0053
这也就是模式1准则(1)的显著性水平σ。
类似地,可以计算出模式1准则(2)和准则(3)的情况出现的概率分别为(计算略):
P{连续7个点中至少有3点接近控制界限}=0.0024
P{连续10个点中至少有4点接近控制界限}=0.0006
根据上述计算,可见模式1的三个准则的显著性水平分别为0.0053、0.0024，0.0006,是不太相称的,主要是准则(3)的显著性水平偏低一些。事实上,如果把准则(3)的显著性水平调高到与准则(1)、准则(2)相称,考虑到
P{连续13个点中至少有4点接近控制界限}=0.0018
P{连续14个点中至少有4点接近控制界限}=0.0023
P{连续15个点中至少有4点接近控制界限}=0.0030
故准则(3)中的“连续10点,,要改成“连续14点或更多点子”才能使其显著性水平调高到与准则 (1)、准则(2)相称。
注意,后两条准则由于需要观察的点子数较多,应用起来不很方便,所以主要应用第一条,即连续3个点中,至少有2点接近控制界限判异。
模式2:链。在控制图中心线一侧连续出现的点称为链,其点子数目称作链长,参见长为7的链图链长不少于7时判断点子排列非随机,存在异常因素。直观看来,出现链表示过程均值向链这一侧偏移。现在进行一些概率计算。在过程正常为正态分布的情况下,点子在控制图控制界限内中心线指定的一侧出现的概率为0.9973/2,则在控制图中心线一侧出现长为7的链的概率为
P{中心线一侧出现长为7的链}== 2 =0.0153
这就是模式2的显著性水平。附带说明一下,国外也有取9点链作为判异准则的,这时的显著性水平为
P{中心线一侧出现长为9的链}=2 =0.0038
如果链较长,那么即使个别点子出现在中心线的另一侧而形成间断链,也可按照与链类似的方式处理。
模式3: 间断链,参见连续11点中有10个点在一侧判断异常图。属下列情况的判断点子排列非随机,存在异常因素:
(1) 连续11个点中,至少有10点在中心线一侧;
(2) 连续14个点中,至少有12点在中心线一侧;
(3) 连续17个点中,至少有14点在中心线一侧;
(4) 连续20个点中,至少有16点在中心线一侧。
显然,上述准则是按照至少有10点、12点、14点、16点来排列的。在过程正常为正态分布的情况下,上述准则情况出现的概率分别为
P{连续11个点中,至少有10点在中心线一侧}≈0.0114
P{连续14个点中,至少有12点在中心线一侧}≈250.0125
P{连续17个点中,至少有14,嵌在中心线一侧}≈0.0122
P{连续20个点中,至少有16点在中心线一侧}≈0.0112
可见,模式3四个准则的显著性水平是相称的,而且都在1%～2%之间。实际上,后三条准则由于需要观察的点数过多,使用起来不方便,所以是较少应用的。
模式4:倾向,点子逐渐上升或下降的状态称为倾向。当有连续不少于7个点的上升或下降的倾向时判断点子排列非随机,存在异常因素,参见7点下降倾向判断异常图。直观看来,出现倾向表明过程均值逐渐增大或逐渐减少。现在进行一些概率计算,可以证明,在过程正常为正态分布的情况下,出现n点倾向的概率为
P{n点顷向}= (4.4-1)
令yi,i=12,...,n为界内点的纵坐标,下标i为标点序号,则n个界内点高低排列的所有可能的事件共有 =n! 个,其中对倾向有利的事件只有两个,即
y1＜y2＜...＜yn (上升有利事件)
y1＞y2＞...＞yn （下降有利事件）
当过程正常时,y1, y2,...,yn互相独立,且为同分布,故此n!个事件等概率,易见此n!个事件也是互不相容的。考虑点子在控制界限内,于是式P{n点顷向}= 成立。由此得
P{7点倾向}= =0.00039
P{6点倾向}= =0.00273
P{5点倾向}= =0.01644
可见,6点倾向的显著性水平α=0.00273,而7点倾向的显著性水平α=0.00039。现在国家标准与国外的作法一样,都是规定7点倾向判异。
模式5:点子集中在中心线附近。所谓中心线附近指点子距离中心线在1σ以内,参见图 连续15点集中在中心线附近判断异常。直观看来,出现模式5表明过程方差异常小。通常,模式5可能由下列两个原因所致: 数据不真实或数据分层不当。如果把方差大的数据与方差
小的数据混在一起而未分层,则数据总的方差将更大。于是控制图控制界限的问隔距离也将较大,这时如将方差小的数据描点就可能出现模式5。现在进行一些概率计算。在过程正常
为正态分布的情况下,点子落于中心线两 侧1α界限内的概率为
P（μ-σ≤x≤μ+σ）=2=2=0.6826
式中, φ（1）与φ（0）内的由附录Ⅰ标准正态分布表查得。于是,对于模式5计算下列情况出现的概率
P(连续11点集中在中心线附近)= =0.0150
P(连续12点集中在中心线附近)= =0.0102
P(连续13点集中在中心线附近)= =0.0070
P(连续14点集中在中心线附近)= =0.0048
P(连续15点集中在中心线附近)= =0.0033
P(连续16点集中在中心线附近)= =0.0022
由此,模式5可采用下列准则:若连续15点集中在中心线附近判异。国外也采用这一准则。
模式6:点子呈现周期性变化,参见点子呈现周期性变化图。造成点子周期性变化可能有下列原因:操作人员疲劳、原材料的发送有问题、某些化工过程热积累或某些机械设备应用过程中的应力积累等。消除上的讨论述周期性变化可以减少产品质量的波动,改进产品的质量。注意，所有本章的讨论适用于所有的休哈特控制图。其次，在判断异常时，也可以同时应用若干个判异准则。
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tao08
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