标准差（σ）和样本标准差(S)有什么区别？为什么一个取(n)一个取(n-1)?

开始学习。

首先，对一个可测量的计量型品质特性值，
我们知道由于世界上不存在完全一样的东西，
那么当测量精度足够时，
N个对象就可以得到N个不完全相同的计量数值。

对于这一组不同的对象数值，
我们希望知道他们的均匀性或者说差异特性，
以便了解对象品的整批批次特性，
并且希望是得到定量而不只是定性的评价结果。
这样就产生了数学评估的要求。


我们前辈的数学研究，首先发现了平均值，
即数值总和除以样本数。
这个数学平均值可以大致告诉我们，
该特定批次的整体水平，和基准要求的差异，
如果平均值比基准大，那么我们一般可以认为整批物品中，
大于基准的多一些。反之，如果平均值小，那么小于基准的会多一些。

且慢，真的都是这样子的吗？

我们长期的经验发觉，如果该批次物品特性值不是自然均匀分布的话，
即如果个别值特别大或特别小，那么平均值将被显著拉高或压低。
（如，一个自然村中出了一个千万富翁，那么村里大家的平均资产都可能一下子超过实际几倍。）

为此，首先引入了中位值的概念，作为参照。

但是，发觉中位值的作用很有限呢……。


于是继续研究，很快，人们发现，
可以计算一下每个个体值和平均值的差，称“均差”
立即就能发现，个体和平均值之间的差异有多大了。

可是，这样做是对每个个体的评估，
如果要只用一个数值指标来评估的话，那该怎么办呢？


于是，首先想到了把“均差”进行数学平均计算，
但是，很遗憾地发现，如果是几何对称分布的话，
那么“均差”的数学平均值可能趋近于零，而该批次的均匀性却仍然很差。

为什么会这样子呢？
因为“均差”本身有正有负，直接作数学平均的话，差异会相互抵消。

怎么办哪？急死人了！

偶然中，有人想到了平方运算的取正作用，
把每个“均差”平方运算以后，再取其数学平均值，
即“均差”的总和除以样本数，（这个尚不是现在的标准方差）
呵呵，很理想地找到了这个评估值和样本差异性之间的线性相关……。

后来，数学家为了保证计算值和实际值的单位统一，
（这个值和实际值的单位是平方关系。）
因此提出了把这个值再开平方一次，以保证它仍然是一次幂单位……。

至此，标准方差正式诞生了。


标准方差的计算公式是：
1。求每一个数与这个样本数列的数学平均值之间的差，称均差；
2。计算每一个差的平方，称方差；
3。求它们的总和，再除以这个样本数列的项数得到均方差；
4。再开根号得到标准方差！


分析：
标准方差主要和分母（项数）、分子（无极性偏差）有直接关系！
这里的偏差为每一个数与平均值的差异，平方运算后以去除正负极性。
为保持单位一致，再开方运算。


几个适用的理解：
1.数据整体分布离平均值越近，标准方差就越小；
数据整体分布离平均值越远，标准方差越大。
（标准方差和差异的正相关）


2.特例，标准方差为0，意味着数列中每一个数都相等。
（一组平方数总和为零时，每一个平方数都必须为零）


3.序列中每一个数都加上一个常数，标准方差保持不变！
（方差本身是数值和平均值之间作比较，常数已被相互抵消。）


4。标准方差主要反映的是数列整体对于数学平均值的偏移分布特性，
不论它是往那个方向。


5。个别值对数学平均值的偏移越大，对标准方差的值的增大贡献越大。
并且这个贡献是由于平方运算而被显著化（扩大化）了的。


6。即使数学平均值和标准方差值都相同，但两个实际数列对数学平均值的几何分布也有可能不同。


7。仅当两个数列的几何分布相同或类似时，用标准方差来评估他们的差异是比较可行的。


8。由于假定大部分情况下，对象的几何分布是随机正态分布的，
因此，用标准方差的大小来评估他们的组内数据差异是可行的。


9。……待增补。
一下子写这么多，挺累的。

这是我自己对标准方差评估方法产生的一个推测，错误地方也许很多，请指正。

因此，我的理解，标准方差虽然是对客观数列的一个客观评估方式，
但它本身就是人为规定的一种方法，不能完全称之为绝对科学内容。

随着人类科学的进步，今后也许可以发明更理想的评估方式。

呵呵。