Minitab应用案例分析--利用协方差分析来提高试验精确度
Minitab应用案例分析--利用协方差分析来提高试验精确度
闵亚能
关键词：Minitab； 方差分析； 试验精度
内容提要：
通过改进发动机冷却性能的试验，引进了协方差分析方法，消除了协变量对响应的影响，提示了显著因子的效应被掩盖的状况，从而根本性地提高了实验的精确度：同时从残差中消除了协变量的误差，也大大提高了试验的功效。通过协方差分析方法指导的试验设计，在实际工程试验中得到成功的应用，开创了解决复杂试验设计的新局面
问题的由来：
在产品设计完成之前，一个汽车制造商对模型车进行验证试验，要证实一个引擎的发动机的冷却系统可以在现实运行中的极端情况下，能够有可接受的性能水平。燃烧释放出来的热量从发动机被转移到冷却剂中，再通过散热管和散热片传导到周围空气中。冷却系统的关键是散热器出口处冷却剂的温度。
数据收集：
工程师给出了车辆结构的好几种方案。确切的时间预先不能指导，需要完成试验后才能指导。因为道路测试比较困难，通常需要2-3天。事实上花了好几天进行了全因子实验来引入潜在的每一天的变化。试验记录了每回试验的空气温度，因为空气温度对冷却剂温度是有影响的
分析步骤
阶段1：制定完全模型（Full Model）的ANOVA表，
1） 打开文件COVARIATE.MPJ
2） 选择 统计>DOE>因子>分析因子设计
3） 在响应栏选择Coolant Temp
4） 点击 项
5） 完成如图对话框
6） 点击 确定
分析结果如下：
拟合因子: Coolant Temp 与 Density, Design, Surface, Sryling
Coolant Temp 的效应和系数的估计（已编码单位）
项 效应 系数 系数标准误 T P
常量 220.787 0.6163 358.24 0.000
Density 0.800 0.400 0.6163 0.65 0.545
Design -0.725 -0.363 0.6163 -0.59 0.582
Surface -1.600 -0.800 0.6163 -1.30 0.251
Sryling 0.125 0.062 0.6163 0.10 0.923
Density*Design 2.000 1.000 0.6163 1.62 0.166
Density*Surface -1.375 -0.688 0.6163 -1.12 0.315
Density*Sryling -1.200 -0.600 0.6163 -0.97 0.375
Design*Surface -0.500 -0.250 0.6163 -0.41 0.702
Design*Sryling -2.875 -1.438 0.6163 -2.33 0.067
Surface*Sryling -0.500 -0.250 0.6163 -0.41 0.702
S = 2.46526 PRESS = 311.168
R-Sq = 72.31% R-Sq（预测） = 0.00% R-Sq（调整） = 16.93%
来源 自由度 Seq SS Adj SS Adj MS F P
主效应 4 14.96 14.96 3.741 0.62 0.671
2因子交互作用 6 64.39 64.39 10.731 1.77 0.275
残差误差 5 30.39 30.39 6.077
合计 15 109.74
对于Coolant Temp方差分析（已编码单位）我们利用显著水平α=0.05来判断显著的因子，发现没有一项是显著的。从逻辑上选择，基于从成本上考虑采用低水平的Density因子。而实际上，本实验是在沙漠环境中完成的，每天中的空气温差很大，周围空气的温度对冷却剂是有作用的。试验中，不能控制这个重要的变量，但是，必须要考虑在内，也就是以协变量的角色来分析
阶段2：进行散点图分析，引入协变量，解释结果先用散点图来观察一下两天中空气温度的变化情况
散点图分析
1） 选择 图形>散点图
2） 选择 包含连接和组
3） 点击 确定
4） 完成如下对话框
5） 点击 确定
生成以下散点图
从图上可以看出，空气的温度每天随着时间增加而增加，从总体上讲，星期二比星期三稍高一点由于运行序（RunOrder）是随机化的，所以我们可以用单独的方式来观察一下协变量针对每个因子的数据分布情况
单值图
1） 选择 图形>单值
2） 选择 一个Y，含组
3） 完成如下对话框
点击 确定
5）选择快捷键，Ctrl+E，用Design替代Density因子，点击 确定
6）选择快捷键，Ctrl+E，用Surface替代Design因子，点击 确定
7）选择快捷键，Ctrl+E，用Styling替代Surface因子，点击 确定
8）点击 右键>布局工具，把四个图形合并成一张图显示
9）点击 完成
生成以下图形：
基于以前的P值来分析，Density不是显著因子。但是，当你观察空气温度时，就有惊喜的发现，随着Density的高低水平有明显的差异，所以当你分析Density的高低效应时，就必须要说明空气温度的差异。
其它的因子没有显示出有较大的差异。
进一步说明协变量的关系
用散点图来展示Density因子的高低水平下，协变量（空气温度）与响应的关系。
1） 选择 图形>散点图
2） 选择 包含回归和组
3） 点击 确定
4） 完成如下对话框
5） 点击 确定
生成以下图形
从散点图上可以看出，当Density在高低水平时，响应与空气温度的效应有一定的差异，也就是说，当空气温度被考虑时，Density在高低水平对响应的效应就能被检验出来。
分析因子设计
1） 选择 统计>DOE>因子>分析因子设计
2） 在 响应栏 输入 Coolant Temp
3） 点击 项
4） 完成如下对话框
5） 点击 确定
6） 点击 共变量
7） 在共变量栏中输入Temp，点击 确定，完成对话框
分析结果如下
拟合因子: Coolant Temp 与区组 , Temp, Density, Design, Surface, Sryling
Coolant Temp 的效应和系数的估计（已编码单位）
项 效应 系数 系数标准误 T P
常量 30.819 44.4991 0.69 0.538
Temp 1.818 0.4258 4.27 0.024
区组 -0.545 0.8557 -0.64 0.569
Density 7.934 3.967 0.9124 4.35 0.022
Design -2.270 -1.135 0.4086 -2.78 0.069
Surface -0.873 -0.436 0.3761 -1.16 0.330
Sryling -1.738 -0.869 0.5622 -1.55 0.220
Density*Design 3.999 2.000 0.3799 5.26 0.013
Density*Surface 1.351 0.676 0.6086 1.11 0.348
Density*Sryling 1.572 0.786 0.4895 1.61 0.207
Design*Surface 0.363 0.182 0.3158 0.58 0.605
Design*Sryling 3.850 1.925 0.8687 2.22 0.113
Surface*Sryling -1.227 -0.614 0.3761 -1.63 0.201
S = 1.19651 PRESS = 222.911
R-Sq = 96.09% R-Sq（预测） = 0.00% R-Sq（调整） = 80.43%
对于 Coolant Temp 方差分析（已编码单位）
来源 自由度 Seq SS Adj SS Adj MS F P
共变量 1 16.079 26.0926 26.0926 18.23 0.024
区组 1 2.574 0.5814 0.5814 0.41 0.569
主效应 4 43.062 40.9480 10.2370 7.15 0.069
2因子交互作用 6 43.729 43.7287 7.2881 5.09 0.105
残差误差 3 4.295 4.2949 1.4316
合计 15 109.738
结果分析
空气温度（Temp）作为一个协变量，其效应是显著的。注意Density因子的效应由原来的0.800到7.934，Design因子的效应也由原来的-0.725到-2.270，并且Density*Design的交互作用也是显著因子。
Residual error S也由原来的2.465到1.197，表示比以前有个更好的模型。
S2，S2(adj)，从原来的72.31%，6.83%，分别增加到96.09%，80.43%。
区组不是显著因子。
阶段3：去除以下内容后，求缩小模型（Reduced Model）
由于区组变量不是显著的，并且也不是正交的，所以从模型中移去。
分析因子设计
1） 使用组合键 Ctrl+E
2） 点击 项
3） 完成下列对话框 （取消在模型中包括区组）
4） 点击 确定，结束会话框
结果如下
拟合因子: Coolant Temp 与 Temp, Density, Design, Surface, Sryling
Coolant Temp 的效应和系数的估计（已编码单位）
项 效应 系数 系数标准误 T P
常量 35.052 40.6031 0.86 0.437
Temp 1.777 0.3885 4.57 0.010
Density 8.042 4.021 0.8383 4.80 0.009
Design -2.502 -1.251 0.3375 -3.71 0.021
Surface -0.623 -0.311 0.2960 -1.05 0.352
Sryling -1.163 -0.582 0.3099 -1.88 0.134
Density*Design 3.955 1.977 0.3491 5.66 0.005
Density*Surface 1.824 0.912 0.4455 2.05 0.110
Density*Sryling 1.244 0.622 0.3841 1.62 0.181
Design*Surface 0.344 0.172 0.2910 0.59 0.586
Design*Sryling 3.434 1.717 0.7428 2.31 0.082
Surface*Sryling -1.477 -0.739 0.2960 -2.50 0.067
S = 1.10413 PRESS = 131.253
R-Sq = 95.56% R-Sq（预测） = 0.00% R-Sq（调整） = 83.34%
对于 Coolant Temp 方差分析（已编码单位）
来源 自由度 Seq SS Adj SS Adj MS F P
共变量 1 16.079 25.511 25.511 20.93 0.010
主效应 4 44.663 40.412 10.103 8.29 0.032
2因子交互作用 6 44.120 44.120 7.353 6.03 0.052
残差误差 4 4.876 4.876 1.219
合计 15 109.738
模型中空气温度还是显著的，留下的显著项为Density，Design与Density*Design的交互作用项，S2（adj），也从原来的80.43%提高到83.34%。
去掉非显著项，完成减少模型
分析因子设计
1） 使用组合键 Ctrl+E
2） 点击 项，完成下列对话框
3） 点击 确定
4） 点击 图形
5） 在残差图下选择 四合一，点击 确定 结束会话框
生成如下结果
拟合因子: Coolant Temp 与 Temp, Density, Design
Coolant Temp 的效应和系数的估计（已编码单位）
项 效应 系数 系数标准误 T P
常量 127.443 15.9865 7.97 0.000
Temp 0.893 0.1529 5.84 0.000
Density 4.440 2.220 0.4696 4.73 0.001
Design -1.618 -0.809 0.3595 -2.25 0.046
Density*Design 2.982 1.491 0.3612 4.13 0.002
阶段4：分析残差图（Residual Plots），确认模型的适合性
差图上没有发现违背所有的假设
阶段5：通过图表分析，分析主效应和交互作用效应 （以交互作用为例）
1） 选择 统计>DOE>因子>因子图
2） 点击 交互作用图
3） 选择 拟合均值
4） 点击 设置
5） 完成如下对话框
6） 点击 确定，完成对话框
从交互作用图上可以看出，当Density是高水平时，随着Design从低水平到高水平，对响应Coolant Temp的效应有所增加：当Density是低水平时，随着Design从低水平到高水平，对响应Coolant Temp的效应有所减少。
阶段6：叙述数学性模型的结论
从以上的分析过程中得到的数学模型方程为:
CoolantTemp=127.443+0.893Temp+2.200Density-0.809Design+1.491Density*Design
阶段7：解释数学性模型，导出结论，提出方案。（使用最适合化）
Density与Design存在交互作用，也被工程观点所解释与验证。当Fin Density是低水平时（散热管和散热片空气流动畅通），有利于冷却系统的冷却，提高了冷却性能，这是我们期望的；相反，当Fit Density是高水平时，不利于冷却系统的冷却，降低了冷却性能，这时我们尽量要避免的。
在试验设计中考虑协方差分析有二个好处：
1. 消除了由于协方差对响应的影响，提高了实验的精确度；
2. 由于从残差中消除了协变量的误差，改善了实验的功效
阶段8：再现最合适条件，制定下一阶段的实验计划
从模拟情况可以看出，我们设置的区域范围，工艺相对来说比较稳定，因子水平设置也比较容易。安排验证实验，结果证明在要求的置信区域范围内。
从Pilot的结果来看，实验设计完全达到设计的目标。
闵亚能
关键词：Minitab； 方差分析； 试验精度
内容提要：
通过改进发动机冷却性能的试验，引进了协方差分析方法，消除了协变量对响应的影响，提示了显著因子的效应被掩盖的状况，从而根本性地提高了实验的精确度：同时从残差中消除了协变量的误差，也大大提高了试验的功效。通过协方差分析方法指导的试验设计，在实际工程试验中得到成功的应用，开创了解决复杂试验设计的新局面
问题的由来：
在产品设计完成之前，一个汽车制造商对模型车进行验证试验，要证实一个引擎的发动机的冷却系统可以在现实运行中的极端情况下，能够有可接受的性能水平。燃烧释放出来的热量从发动机被转移到冷却剂中，再通过散热管和散热片传导到周围空气中。冷却系统的关键是散热器出口处冷却剂的温度。
数据收集：
工程师给出了车辆结构的好几种方案。确切的时间预先不能指导，需要完成试验后才能指导。因为道路测试比较困难，通常需要2-3天。事实上花了好几天进行了全因子实验来引入潜在的每一天的变化。试验记录了每回试验的空气温度，因为空气温度对冷却剂温度是有影响的
分析步骤
阶段1：制定完全模型（Full Model）的ANOVA表，
1） 打开文件COVARIATE.MPJ
2） 选择 统计>DOE>因子>分析因子设计
3） 在响应栏选择Coolant Temp
4） 点击 项
5） 完成如图对话框
6） 点击 确定
分析结果如下：
拟合因子: Coolant Temp 与 Density, Design, Surface, Sryling
Coolant Temp 的效应和系数的估计（已编码单位）
项 效应 系数 系数标准误 T P
常量 220.787 0.6163 358.24 0.000
Density 0.800 0.400 0.6163 0.65 0.545
Design -0.725 -0.363 0.6163 -0.59 0.582
Surface -1.600 -0.800 0.6163 -1.30 0.251
Sryling 0.125 0.062 0.6163 0.10 0.923
Density*Design 2.000 1.000 0.6163 1.62 0.166
Density*Surface -1.375 -0.688 0.6163 -1.12 0.315
Density*Sryling -1.200 -0.600 0.6163 -0.97 0.375
Design*Surface -0.500 -0.250 0.6163 -0.41 0.702
Design*Sryling -2.875 -1.438 0.6163 -2.33 0.067
Surface*Sryling -0.500 -0.250 0.6163 -0.41 0.702
S = 2.46526 PRESS = 311.168
R-Sq = 72.31% R-Sq（预测） = 0.00% R-Sq（调整） = 16.93%
来源 自由度 Seq SS Adj SS Adj MS F P
主效应 4 14.96 14.96 3.741 0.62 0.671
2因子交互作用 6 64.39 64.39 10.731 1.77 0.275
残差误差 5 30.39 30.39 6.077
合计 15 109.74
对于Coolant Temp方差分析（已编码单位）我们利用显著水平α=0.05来判断显著的因子，发现没有一项是显著的。从逻辑上选择，基于从成本上考虑采用低水平的Density因子。而实际上，本实验是在沙漠环境中完成的，每天中的空气温差很大，周围空气的温度对冷却剂是有作用的。试验中，不能控制这个重要的变量，但是，必须要考虑在内，也就是以协变量的角色来分析
阶段2：进行散点图分析，引入协变量，解释结果先用散点图来观察一下两天中空气温度的变化情况
散点图分析
1） 选择 图形>散点图
2） 选择 包含连接和组
3） 点击 确定
4） 完成如下对话框
5） 点击 确定
生成以下散点图
从图上可以看出，空气的温度每天随着时间增加而增加，从总体上讲，星期二比星期三稍高一点由于运行序（RunOrder）是随机化的，所以我们可以用单独的方式来观察一下协变量针对每个因子的数据分布情况
单值图
1） 选择 图形>单值
2） 选择 一个Y，含组
3） 完成如下对话框
点击 确定
5）选择快捷键，Ctrl+E，用Design替代Density因子，点击 确定
6）选择快捷键，Ctrl+E，用Surface替代Design因子，点击 确定
7）选择快捷键，Ctrl+E，用Styling替代Surface因子，点击 确定
8）点击 右键>布局工具，把四个图形合并成一张图显示
9）点击 完成
生成以下图形：
基于以前的P值来分析，Density不是显著因子。但是，当你观察空气温度时，就有惊喜的发现，随着Density的高低水平有明显的差异，所以当你分析Density的高低效应时，就必须要说明空气温度的差异。
其它的因子没有显示出有较大的差异。
进一步说明协变量的关系
用散点图来展示Density因子的高低水平下，协变量（空气温度）与响应的关系。
1） 选择 图形>散点图
2） 选择 包含回归和组
3） 点击 确定
4） 完成如下对话框
5） 点击 确定
生成以下图形
从散点图上可以看出，当Density在高低水平时，响应与空气温度的效应有一定的差异，也就是说，当空气温度被考虑时，Density在高低水平对响应的效应就能被检验出来。
分析因子设计
1） 选择 统计>DOE>因子>分析因子设计
2） 在 响应栏 输入 Coolant Temp
3） 点击 项
4） 完成如下对话框
5） 点击 确定
6） 点击 共变量
7） 在共变量栏中输入Temp，点击 确定，完成对话框
分析结果如下
拟合因子: Coolant Temp 与区组 , Temp, Density, Design, Surface, Sryling
Coolant Temp 的效应和系数的估计（已编码单位）
项 效应 系数 系数标准误 T P
常量 30.819 44.4991 0.69 0.538
Temp 1.818 0.4258 4.27 0.024
区组 -0.545 0.8557 -0.64 0.569
Density 7.934 3.967 0.9124 4.35 0.022
Design -2.270 -1.135 0.4086 -2.78 0.069
Surface -0.873 -0.436 0.3761 -1.16 0.330
Sryling -1.738 -0.869 0.5622 -1.55 0.220
Density*Design 3.999 2.000 0.3799 5.26 0.013
Density*Surface 1.351 0.676 0.6086 1.11 0.348
Density*Sryling 1.572 0.786 0.4895 1.61 0.207
Design*Surface 0.363 0.182 0.3158 0.58 0.605
Design*Sryling 3.850 1.925 0.8687 2.22 0.113
Surface*Sryling -1.227 -0.614 0.3761 -1.63 0.201
S = 1.19651 PRESS = 222.911
R-Sq = 96.09% R-Sq（预测） = 0.00% R-Sq（调整） = 80.43%
对于 Coolant Temp 方差分析（已编码单位）
来源 自由度 Seq SS Adj SS Adj MS F P
共变量 1 16.079 26.0926 26.0926 18.23 0.024
区组 1 2.574 0.5814 0.5814 0.41 0.569
主效应 4 43.062 40.9480 10.2370 7.15 0.069
2因子交互作用 6 43.729 43.7287 7.2881 5.09 0.105
残差误差 3 4.295 4.2949 1.4316
合计 15 109.738
结果分析
空气温度（Temp）作为一个协变量，其效应是显著的。注意Density因子的效应由原来的0.800到7.934，Design因子的效应也由原来的-0.725到-2.270，并且Density*Design的交互作用也是显著因子。
Residual error S也由原来的2.465到1.197，表示比以前有个更好的模型。
S2，S2(adj)，从原来的72.31%，6.83%，分别增加到96.09%，80.43%。
区组不是显著因子。
阶段3：去除以下内容后，求缩小模型（Reduced Model）
由于区组变量不是显著的，并且也不是正交的，所以从模型中移去。
分析因子设计
1） 使用组合键 Ctrl+E
2） 点击 项
3） 完成下列对话框 （取消在模型中包括区组）
4） 点击 确定，结束会话框
结果如下
拟合因子: Coolant Temp 与 Temp, Density, Design, Surface, Sryling
Coolant Temp 的效应和系数的估计（已编码单位）
项 效应 系数 系数标准误 T P
常量 35.052 40.6031 0.86 0.437
Temp 1.777 0.3885 4.57 0.010
Density 8.042 4.021 0.8383 4.80 0.009
Design -2.502 -1.251 0.3375 -3.71 0.021
Surface -0.623 -0.311 0.2960 -1.05 0.352
Sryling -1.163 -0.582 0.3099 -1.88 0.134
Density*Design 3.955 1.977 0.3491 5.66 0.005
Density*Surface 1.824 0.912 0.4455 2.05 0.110
Density*Sryling 1.244 0.622 0.3841 1.62 0.181
Design*Surface 0.344 0.172 0.2910 0.59 0.586
Design*Sryling 3.434 1.717 0.7428 2.31 0.082
Surface*Sryling -1.477 -0.739 0.2960 -2.50 0.067
S = 1.10413 PRESS = 131.253
R-Sq = 95.56% R-Sq（预测） = 0.00% R-Sq（调整） = 83.34%
对于 Coolant Temp 方差分析（已编码单位）
来源 自由度 Seq SS Adj SS Adj MS F P
共变量 1 16.079 25.511 25.511 20.93 0.010
主效应 4 44.663 40.412 10.103 8.29 0.032
2因子交互作用 6 44.120 44.120 7.353 6.03 0.052
残差误差 4 4.876 4.876 1.219
合计 15 109.738
模型中空气温度还是显著的，留下的显著项为Density，Design与Density*Design的交互作用项，S2（adj），也从原来的80.43%提高到83.34%。
去掉非显著项，完成减少模型
分析因子设计
1） 使用组合键 Ctrl+E
2） 点击 项，完成下列对话框
3） 点击 确定
4） 点击 图形
5） 在残差图下选择 四合一，点击 确定 结束会话框
生成如下结果
拟合因子: Coolant Temp 与 Temp, Density, Design
Coolant Temp 的效应和系数的估计（已编码单位）
项 效应 系数 系数标准误 T P
常量 127.443 15.9865 7.97 0.000
Temp 0.893 0.1529 5.84 0.000
Density 4.440 2.220 0.4696 4.73 0.001
Design -1.618 -0.809 0.3595 -2.25 0.046
Density*Design 2.982 1.491 0.3612 4.13 0.002
阶段4：分析残差图（Residual Plots），确认模型的适合性
差图上没有发现违背所有的假设
阶段5：通过图表分析，分析主效应和交互作用效应 （以交互作用为例）
1） 选择 统计>DOE>因子>因子图
2） 点击 交互作用图
3） 选择 拟合均值
4） 点击 设置
5） 完成如下对话框
6） 点击 确定，完成对话框
从交互作用图上可以看出，当Density是高水平时，随着Design从低水平到高水平，对响应Coolant Temp的效应有所增加：当Density是低水平时，随着Design从低水平到高水平，对响应Coolant Temp的效应有所减少。
阶段6：叙述数学性模型的结论
从以上的分析过程中得到的数学模型方程为:
CoolantTemp=127.443+0.893Temp+2.200Density-0.809Design+1.491Density*Design
阶段7：解释数学性模型，导出结论，提出方案。（使用最适合化）
Density与Design存在交互作用，也被工程观点所解释与验证。当Fin Density是低水平时（散热管和散热片空气流动畅通），有利于冷却系统的冷却，提高了冷却性能，这是我们期望的；相反，当Fit Density是高水平时，不利于冷却系统的冷却，降低了冷却性能，这时我们尽量要避免的。
在试验设计中考虑协方差分析有二个好处：
1. 消除了由于协方差对响应的影响，提高了实验的精确度；
2. 由于从残差中消除了协变量的误差，改善了实验的功效
阶段8：再现最合适条件，制定下一阶段的实验计划
从模拟情况可以看出，我们设置的区域范围，工艺相对来说比较稳定，因子水平设置也比较容易。安排验证实验，结果证明在要求的置信区域范围内。
从Pilot的结果来看，实验设计完全达到设计的目标。
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