正交试验
(DOE) 正交试验设计讲义
正交试验设计法是研究与处理多因素试验的一种科学方法。它在实践经验与理论认识的基础上，利用规格化的表格――正交表，科学地挑选试验条件，合理安排试验。其优点在于能从很多试验条件中选出代表性强的少数次条件，并能对少数次试验条件的分析，找出较好的生产条件即最优或较优的试验方案。
正交试验设计法最早由日本质量管理专家田口玄一提出，称为国际标准型（田口型）正交试验法。在日本，正交试验设计法得到广泛的应用，并由田口玄一进一步深化而发展成为三次设计中参数优化设计。正交试验设计法在日本几乎达到底家喻户晓的程度，认为一个工程技术人员若不掌握正交试验设计法，只能算半个工程师。
我国工业企业，特别是化工、纺织、医药、电子、机械企业，正交试验法的应用也取得相当的成就。针对田口型正交试验设计法计算复杂的问题，中国数学家张里千教授发明的中国型正交试验设计法，由于应用计算简便的极差分析法，非常适合工业企业和生产现场应用。本书将着重介绍中国型正交试验设计法的应用。
一、名 词 介 绍
1．试验因素
试验因素指当试验条件变化，试验考核指标也发生变化时，影响考核指标取值的量称为试验因素（因子），一般记为A，B，C等。
试验因素可以理解为试验过程中的自变量，如：化学试验中的温度、压力、时间、催化剂用量；机构加工中的切削速度、吃刀量、刀具的几何参数等。从广义上讲，试验因素可理解为若干变量间的某种确定关系，如原料的配方比例、供货单位、工艺流程等也都可以看作为一种文义的因素。
定量因素: 因素有可能按数量表示，如温度、时间、压力等称为定量描述的因素。
定性因素: 如材料的品种、产品的型号、工艺流程的类别等，称为定性描述的因素。
可控因素: 在试验过程中有些因素所处的状态是可以控制或调节的，如加热温度、熔化温度、切削速度等，这样的因素称为可控因素。
不可控因素: 一些因素所处的状态是不能控制或调节的，如未装空调的生产环境的温度、湿度等，称为不可控因素或干扰因素。
在正交试验设计应用过程中，如无特殊规定，因素一般是指可控因素。在试验过程中只考察一个因素对试验结果（考核指标）影响的试验，称为单因素试验。若同时考察两个以上因素，则称为多因素试验。单因素试验设计一般可应用优选法进行，而多因素试验设计必须应用正交试验设计法解决。
2．因素的位级
试验因素的位级（水平）是指试验因素所处的状态。一般试验方案是由若干个试验因素所组成的若干组合，因素在试验方案中变化的几种状态，就称为有几个位级（水平）。例如，在化学试验中，温度、时间、压力这些因素允许在一定范围内变化，但在一个试验方案中，温度、时间、压力等因素总是固定在几个状态中变化。
温度可以是100℃，120℃，150℃等；
时间可以是1h，1.5h，2h等；
压力可以是1Mpa，1.5Mpa，2Mpa等。
-- 这称为试验中因素的三个位级（水平）。
3．考核指标
考核指标是在试验设计中，根据试验目的而选定的用来衡量试验效果的量值（指标）。考核指标可以是定量的，也可以是定性的。
定量指标: 如硬度、强度、寿命、成本、几何尺寸、各种特性等。
定量指标根据试验结果的预期要求，又可分为望目(标)值、望小值、望大值三种类型。
定性指标: 不是按数而是按质区分，如质量的好与坏，天气的晴与阴、颜色的深与浅、味道的好吃与不好吃等。
为考核方便，对定性指标可以用加权的方法量化为不同等级。
考核指标可以是一个，也可以是多个。前者称为单指标试验设计，后者称为多指标试验设计。在我指标试验中，一般根据指标的重要程度予以加权，确定为一个综合性考核指标，以便进行计算。
4．完全因素位级组合
完全因素位级组合指参与试验的全部因素与全部位级相互之间的全部组合次数，即全部的试验次数。
C1
B1
C2
A1
C1
B2
C2
C1
B1
C2
A1
C1
B2
C2
图1 三因素两位组的完全 因素位级组合
若试验中共有i个因素，每个因素各有j个位级，则其完全因素位级组合数（全部试验的次数）应有N=ji次。如，对于一个具有3个因素（A，B，C），每个因素各有两个位级（A1，A2，B1，B2，C1，C2），其完全因素位级组合数为N=23=8次，其实际组合情况如图5－1所示。
随着因素位级数的增加，完全因素位级组合数也随之增加：
34=81
27=128
45=1024
215=33768
231=2 146 983 648
……
理论上认为只有经过全部试验（完全因素位级组合）后才能准确找出最佳的因素位级经组合（最佳试验方案）。但是，当因素位级数比较多时，实现完全因素位组组合又是不可能的。
5．部分因素位级组合
部分因素位级组合是从全部因素位级组合中抽取一部分因素位级组合构成试验方案，实际上是一种抽样。
C1
A1B1 C2
C3
B1
A1C2 B2
B3
A1
B3C2 A2
A3
图5－2 单因素轮换法应用程序
(1)单因素轮换法
在正交试验设计未发明之前，人们采用单因素轮换法实现部分因素位级组合的抽样。单因素轮换法是在若干试验因素中逐个因素去考虑哪一位试验结果好，考虑一个因素时其他因素处于确定的位级。如对一个三因素三位级的试验，按图2的程序试验。先将A，B因素确定在A1B1位级，考虑C1和C2哪个位级好，试验结果C2好。然后将A C因素确定在A1C2位级，考虑B1B2哪个位级好，试验结果B3好。最后将B C因素确定在B3C2位级，考虑A1A2哪个位级好，试验结果A2好。于是，下结论A2B3C2是最佳试验方案。显然，单因素轮换法是不合理、不科学的抽样。因为确定C2位级好的前提是与A1B1组合，但试验方案是C2位级与A2B3组合，与前提条件不符。
采用单因素轮换法时，因素位级越多，结论的可信度越差，而且提供的信息不够丰富，且若不进行重复试验也给不出误差估计。
（2）正交试验设计法
正交试验设计法由于应用正交表安排试验方案，正交表的正交性保证了在一定置信度下的统计抽样。因此，正交试验设计法是科学的、合理的部分因素位级组合。
正交试验设计法是研究与处理多因素试验的一种科学方法。它在实践经验与理论认识的基础上，利用规格化的表格――正交表，科学地挑选试验条件，合理安排试验。其优点在于能从很多试验条件中选出代表性强的少数次条件，并能对少数次试验条件的分析，找出较好的生产条件即最优或较优的试验方案。
正交试验设计法最早由日本质量管理专家田口玄一提出，称为国际标准型（田口型）正交试验法。在日本，正交试验设计法得到广泛的应用，并由田口玄一进一步深化而发展成为三次设计中参数优化设计。正交试验设计法在日本几乎达到底家喻户晓的程度，认为一个工程技术人员若不掌握正交试验设计法，只能算半个工程师。
我国工业企业，特别是化工、纺织、医药、电子、机械企业，正交试验法的应用也取得相当的成就。针对田口型正交试验设计法计算复杂的问题，中国数学家张里千教授发明的中国型正交试验设计法，由于应用计算简便的极差分析法，非常适合工业企业和生产现场应用。本书将着重介绍中国型正交试验设计法的应用。
一、名 词 介 绍
1．试验因素
试验因素指当试验条件变化，试验考核指标也发生变化时，影响考核指标取值的量称为试验因素（因子），一般记为A，B，C等。
试验因素可以理解为试验过程中的自变量，如：化学试验中的温度、压力、时间、催化剂用量；机构加工中的切削速度、吃刀量、刀具的几何参数等。从广义上讲，试验因素可理解为若干变量间的某种确定关系，如原料的配方比例、供货单位、工艺流程等也都可以看作为一种文义的因素。
定量因素: 因素有可能按数量表示，如温度、时间、压力等称为定量描述的因素。
定性因素: 如材料的品种、产品的型号、工艺流程的类别等，称为定性描述的因素。
可控因素: 在试验过程中有些因素所处的状态是可以控制或调节的，如加热温度、熔化温度、切削速度等，这样的因素称为可控因素。
不可控因素: 一些因素所处的状态是不能控制或调节的，如未装空调的生产环境的温度、湿度等，称为不可控因素或干扰因素。
在正交试验设计应用过程中，如无特殊规定，因素一般是指可控因素。在试验过程中只考察一个因素对试验结果（考核指标）影响的试验，称为单因素试验。若同时考察两个以上因素，则称为多因素试验。单因素试验设计一般可应用优选法进行，而多因素试验设计必须应用正交试验设计法解决。
2．因素的位级
试验因素的位级（水平）是指试验因素所处的状态。一般试验方案是由若干个试验因素所组成的若干组合，因素在试验方案中变化的几种状态，就称为有几个位级（水平）。例如，在化学试验中，温度、时间、压力这些因素允许在一定范围内变化，但在一个试验方案中，温度、时间、压力等因素总是固定在几个状态中变化。
温度可以是100℃，120℃，150℃等；
时间可以是1h，1.5h，2h等；
压力可以是1Mpa，1.5Mpa，2Mpa等。
-- 这称为试验中因素的三个位级（水平）。
3．考核指标
考核指标是在试验设计中，根据试验目的而选定的用来衡量试验效果的量值（指标）。考核指标可以是定量的，也可以是定性的。
定量指标: 如硬度、强度、寿命、成本、几何尺寸、各种特性等。
定量指标根据试验结果的预期要求，又可分为望目(标)值、望小值、望大值三种类型。
定性指标: 不是按数而是按质区分，如质量的好与坏，天气的晴与阴、颜色的深与浅、味道的好吃与不好吃等。
为考核方便，对定性指标可以用加权的方法量化为不同等级。
考核指标可以是一个，也可以是多个。前者称为单指标试验设计，后者称为多指标试验设计。在我指标试验中，一般根据指标的重要程度予以加权，确定为一个综合性考核指标，以便进行计算。
4．完全因素位级组合
完全因素位级组合指参与试验的全部因素与全部位级相互之间的全部组合次数，即全部的试验次数。
C1
B1
C2
A1
C1
B2
C2
C1
B1
C2
A1
C1
B2
C2
图1 三因素两位组的完全 因素位级组合
若试验中共有i个因素，每个因素各有j个位级，则其完全因素位级组合数（全部试验的次数）应有N=ji次。如，对于一个具有3个因素（A，B，C），每个因素各有两个位级（A1，A2，B1，B2，C1，C2），其完全因素位级组合数为N=23=8次，其实际组合情况如图5－1所示。
随着因素位级数的增加，完全因素位级组合数也随之增加：
34=81
27=128
45=1024
215=33768
231=2 146 983 648
……
理论上认为只有经过全部试验（完全因素位级组合）后才能准确找出最佳的因素位级经组合（最佳试验方案）。但是，当因素位级数比较多时，实现完全因素位组组合又是不可能的。
5．部分因素位级组合
部分因素位级组合是从全部因素位级组合中抽取一部分因素位级组合构成试验方案，实际上是一种抽样。
C1
A1B1 C2
C3
B1
A1C2 B2
B3
A1
B3C2 A2
A3
图5－2 单因素轮换法应用程序
(1)单因素轮换法
在正交试验设计未发明之前，人们采用单因素轮换法实现部分因素位级组合的抽样。单因素轮换法是在若干试验因素中逐个因素去考虑哪一位试验结果好，考虑一个因素时其他因素处于确定的位级。如对一个三因素三位级的试验，按图2的程序试验。先将A，B因素确定在A1B1位级，考虑C1和C2哪个位级好，试验结果C2好。然后将A C因素确定在A1C2位级，考虑B1B2哪个位级好，试验结果B3好。最后将B C因素确定在B3C2位级，考虑A1A2哪个位级好，试验结果A2好。于是，下结论A2B3C2是最佳试验方案。显然，单因素轮换法是不合理、不科学的抽样。因为确定C2位级好的前提是与A1B1组合，但试验方案是C2位级与A2B3组合，与前提条件不符。
采用单因素轮换法时，因素位级越多，结论的可信度越差，而且提供的信息不够丰富，且若不进行重复试验也给不出误差估计。
（2）正交试验设计法
正交试验设计法由于应用正交表安排试验方案，正交表的正交性保证了在一定置信度下的统计抽样。因此，正交试验设计法是科学的、合理的部分因素位级组合。
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1．正交表的符号
正交表是正交试验设计法的基本工具。它是运用组合数学理论在正交拉丁方的基础上构造的一种规格化的表格。正交表的符号是：
Ln(ji)
其中：
L――正交表的代号；
n――正交表的行数（试验次数、试验方案数）；
j――正交表中的数码（因素的位级数）；
i――正交表的例数学（试验因素的个数）；
N＝ji――全部试验次数（完全因素位级组合数）。
2.正交表的结构
应用正交试验设计法，必须了解正交表，本书给出了常用的24种正交表。现在通过对最常用的两种正交表L8(27)(表1)和L9(34) （表2），介绍正交表的结构。
表1 正交表L8(27)
试验号 1 2 3 4 5 6 7
1 1 1 1 2 2 1 2
2 2 1 2 2 1 1 1
3 1 2 2 2 2 2 1
4 2 2 1 2 1 2 2
5 1 1 2 1 1 2 2
6 2 1 1 1 2 2 1
7 1 2 1 1 1 1 1
8 2 2 2 1 2 1 2
表2 正交表L9(34)
列号 试验号 1 2 3 4
1 1 1 3 2
2 2 1 1 1
3 3 1 2 3
4 1 2 2 1
5 2 2 3 3
6 3 2 1 2
7 1 3 1 3
8 2 3 2 2
9 3 3 3 1
（1）正交表L8(27)
该表为可容纳7个因素各类个位级，具有的放矢个试验方案的正交表，其特点如下：
①具有8个横行，表示8个试验方案的因素位级组合；
②具有7个直列，表示最多可容纳7个试验因素；
③正交表中横行与直列交点的数码，表示该列因素的位级。
正交表L8(27)中的数码，表现为每个因素的每个位级各出现4次，即每个数码出现的机会是完全均等的。任意两列其横向组合的8个数字对（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）恰好各出现2次，即任意两列间位级的搭配是均衡的。
（2）正交表L9(34)
该表为可容纳4个因素各3个位级，具有9个试验方案的正交表。其特点如下：
①具有9个横行，表示9个试验方案的因素位级组合；
②具有4个直列，表示最多可容纳4个试验因素；
③正交表横行与直列交点的数码，表示该列因素的位级。
正交表L9(34)中的数码，表现为每个因素的每个位级各出现3次，即每个 数码出现的机会是完全均等的。任意两列其横向组合的9个数字对中，（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）和（3，3）各出现1次，即任意两列间位级的搭配是均衡的。
ABCDEFG
BCDEFGA
CDEFGAB
DEFGABC
EFGABCD
FGABCDE
GABCDEF
图3七元素拉丁方图示
3．正交表的由来
正交表来源于正交拉丁方。
（1）拉丁方
古希腊是一个多民族的国家，国王在检阅臣民时要求每个方队中每行有一个民族的代表，每列也要有一个民族的代表。数学家在设计方阵时，以每一个拉丁字母表示一个民族，所以设计的方阵称为拉丁方。图3所示为七个元素组成的拉丁方。拉丁方的排列有许多种型式。这只是其中的一种方式。
（2）正交拉丁方
若有(n-1)个拉丁方（元素数为n）重叠后组成的新拉丁方中，每一个元素都不相同，则称这(n-1)个拉丁方为互为正交拉丁方。目前已知，除n=2和n=6以外都存在互为正交拉丁方。图4所示的为n=3的一对互为正交拉丁方，由此可演变为正交表L9(34)。同理两个元素的拉丁方可演变为正交表L4(23)。对n不同元素的互为正交拉丁方则可演变出一系列的正交表。
行列拉希
演变为L9(34) 正交表
图4 正交拉丁方及演变为正交表
4．正交表的正交性
正交表的正交性体现在因素位级的均衡分散性和整齐可比性两个方面。
（1）整齐可比性
在同一张正交表中，每个因素的每个位级出现的次数是完全相同的。由于每个因素的每个位级试验结果中与其他因素的每个位参与试验的机率是完全相同的，这就保证在各个位级中最大程度地排除了其他因素位级的干扰。因而，能最有效地进行比较和作出展望，容易找到好的试验条件。
（2）均衡分散性
在同一张正交表中，任意两列（两个因素）的位级搭配（横向形成的数字对）是完全相同的。这样就保证了试验条件均衡地分散在因素位级的完全组合之中，因而具有很强的代表性，容易好的试验条正交试验设计法所以具有很高的效率，主要是由于正交表的这两个特性。在应用正交表时必须要用两性对所有的正交表进行检查、验证。