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《正交法与应用数学》读后感(四)

本帖最后由 ZKL47 于 2010-11-17 12:16 编辑

探讨几个信噪比问题。
信噪比是田口方法最重要的标志,有的人士认为无信噪比就不是田口方法。但田口信噪比公式推导难懂,又加上某些文献的误导,更如入谜宫。信噪比的提出是源于稳健性设计的需要。
稳健性设计先需识别出稳定性因子和调整性因子。在稳定性因子中寻找出质量特性值波动最小的水平组合,用信噪比作为度量测度。再用调整性因子把分布中心趋向目标值,用感度(灵敏度或可调性)为度量测度。
(一)
信噪比的概念,即数学背景是什么?
总输出功率中分离出信号和噪声两部分,再把二者的比值对数化后,信噪比成为信号对数减去噪声对数的净增益。这好处是在几个不同组合中,有的信号大但噪声也大,有的信号小但噪声也小的复杂情况下,有了可比性。
田口先生敏锐地把电讯专用信噪比概念,扩展到所有产品的稳健性设计中去。
把自变量或信号因子的变动视为能量的输入,其引起的能量输出部分视为有用的“信号”。有害的能量输出视为“噪声”。
所以关键是怎样分离出信号和噪声,而离差平方和可分解性提供了这工具。而噪声因子的输入是不可控的,大小也是未知的,所以计算噪声离差平方和,一般是用总离差平方和减去有用的离差平方和,来求得。
比如方差分析中:有用的能量输出,可以说是可控因子变动引起的离差平方和。有害的能量输出是噪声因子或原因还不清楚的变动引起的误差离差平方和σe2,但要注意不要和总输出Y的方差σy2 相混淆!
在田口动态模型中, Y=βM+e(式1),信号变动引起的输出变动部分[回归平方和(LXy)2/LX2)],是有用的能量输出。
总输出Y离差平方和减去信号离差平方和,就是残余离差平方和σe2 ,即噪声部分。
动态信噪比η=(β/σe)2 (式2),是符合从总离差平方和分解出的信号与噪声比的信噪比原理的。

(二)田口静态望目型信噪比,是属信噪比概念吗?
实际计算式:
η= 1/n ×(Sm-Ve)/Ve (式3)是从源头η=(μy /σy )2 (式4)(田口用m表示μ)变换后的结果。
其中Ve=(ST-Sm)/(n-1) (式5 ),
ST=∑(yi2)(式6),
Sm =1/n(∑yi)2 (式7)。
因为田口先生也知道正态分布均值和方差是相对独立的参数,不是离差平方和形式,所以用复杂的变换,想用离差平方和的“形式”来表达式3。
由于σy2= 1/n(∑yi-ybar)2,(ybar)2 =(∑yi/n)2 所以y的均值和方差转换成离差平方和“形式”不困难。
但是有一个基本概念:
田口先生在变换中只用Y的数据,没用自变量变动数据,所以无法分离出由自变量引起的有用离差平方和。
但有的文献认为无信号因子也可解决,因为有误差因素?!(《田口管理365》p56中意译)
但笔者表示质疑:
田口静态望目型信噪比式3,复杂的变换过程,表面上“象”离差平方和形式,但本质上是“稳定系数”的对数化,不是信噪比概念。
其中的关键是:需澄清的概念是不同的方差不能相混淆。
式5的分子ST-Sm)= =∑(yi2)-1/n(∑yi)2 ,这是Y的离差平方和∑(yi-ybar)2的二项表达式,除以自由度是Y的方差σy2,而不是噪声引起的离差平方和,除以自由度算出的σe2。或者说式5算出的是信号和噪声一体的母体方差,而实际要的是单噪声部分子体方差。
有的文献认为静态和动态信噪比式中,分子仅是均值平方和倍塔平方之差异,但背后数学模型是完全不同的,不能混淆!
这不是计算误差大小的问题,而是涉及基本概念问题,必需澄清!
这里要声明的不是说田口静态信噪比不科学或不能用。因为均值平方与方差比是变异系数的平方倒数,所以可称为《稳定系数》,但不能冠名为信噪比。否则是和信噪比原数学原理相悖。
(有的文献认为田口先生也认为动态信噪比是最优的,静态信噪比是次优的,所以尽可能用动态模型。可能也隐含承认静态信噪比冠于信噪比之名有不妥之处。)
由于最后评估哪一种水平组合最优是质量经济损失最小,即σm2 最小。
所以分布对目标值的方差大小是兼顾分布中心和目标值距离的平方与分布方差的综合性指标,是最终的评估优劣的指标。所以中国学者在可计算项目中用田口创建的σm 2 分布对目标值的方差作为测度。和田口方法的区别是“一步法”,但在可计算项目,用电脑运算是很方便的,而质量经济损失最小,即σm2 最小的概念,就是田质量经济性理论的核心。
信噪比的引入目的是作为判断稳健性设计优劣的一种测度,实际上信噪比概念不是唯一的测度,
(三)备注:田口先生的统计量和传统的差异很大,此节是对田口统计量的详述,是针对追根溯源有兴趣者,
离差平方和的二项式表达式和总离差平方和分解原理的区别。。
离差平方和∑(yi-ybar)2 =∑(yi2)- 1/n(∑yi)2 (式8)是为了运算方便,变换成二项独立的表达式。其单独项,如未知数是原始数据,这统计量是什么统计意义?
如果∑(y2)中y是代表“离均差”(yi- ybar),那么∑(y2)=∑[(yi-ybar)2]能表达Y的离差平方和。
离差平方和的涵义应是:离“”均”差平方之和。但有的文献简称平方和,而比如Y的离差平方和简易表达式为∑y2 或Lyy,而实际是 ∑[(yi-ybar)2]。
而田口把离差平方和的二项表达式成为无信号因子,静态信噪比表达式的数学模型。
把第一项∑(yi2) 视为Y的总离差平方和,实际是Y的平方和。把第二项
Sm = 1/n(∑yi)2 ,视为有用的离差平方和,实际该式可变换成1/n(n yibar)2
=n (yibar)2 ,和y均值的平方有关系。
所以右式除以自由度是Y的方差,不是残余方差或随机误差方差。
(四)
中国学者对田口信噪比的改进:
田口方法中数学推导难懂,常为学术界所诟病,那怕是非参数统计,也应该尽量用惯用的统计量和数学工具。
笔者猜想:中国学者早就发现这问题,所以用传统的统计量取代田口方法的统计量。
(1)动态模型,“信号”部分直接用回归离差平方和(f=1)(不减去Ve)。“噪声”用残余方差。(田口在回归离差平方和中减去残余方差是用贡献率观点)这样好处和传统的统计量表达方法一致,数学表达式统计意义明确易懂。
(2)静态模型,在可计算项目中,不用式3,用σm 2 ,即分布对目标值的方差即平均距离替代田口的静态信噪比。
(3)在非可计算项目中,中国学者认为是非参数统计,就用水平均值极差和水平均值趋势图来寻找最优配合,(也可加上水平样本方差的趋势图)。
换言之,不用信噪比,也能进行稳健性设计。
(五)田口动态模型的问题。
把静态参数设计作为动态的特例,直接用动态信噪比解决静态案例,从逻辑上是可行的。
但是笔者有一种担心:
动态数学模型本质是线性回归模型,所以案例的Y对M的响应,如的确是呈线性,才合理。回归方程用最小二乘法,明明是曲线关系,也可拟合出一根回归直线。(所以有的文献声明回归方程中的陷阱:如两批胡乱的数据,用最小二乘法也可能拟合出一条直线。用软件可显示数据实际散布和回归直线拟合牲是否好,如手算先做直观的散布图是前提!)
最小二乘法本质是“拟合”,直白说是“凑合”。凑合后的直线,虽原始数据Yi可能都不在线上,但保证Y的估计值总偏差最小。
比如五十铃转向系统数据分析,速率因子对转向灵敏度(或可调性)影响最显著(因子水平均值极差最大。在车速大和转向灵敏度有交互作用。)。所以被“拟合”出来的灵敏度数值可能不错的,不同车速时,灵敏度会比“拟合”出参数有较大差异。这样如高速行驶,选中这种转向系统,高速行驶时急避障打大方向盘时,车轮反映慢半拍,可能带来隐患。而雅阁齿条齿距可变的设计,可选中心齿密,两端齿稀的齿条设计,就可解决在大角度转方向盘时,减速比小了,车轮响应方向盘快捷了,所以这是真正动态参数设计。
而田口动态模型,本质是对某一个可控因子有特殊的考察,把这可控因子称为信号因子。
另一方面,动态模型,对信号因子也有要求,最好信号因子M的变化最好也是等间距的,即变量M是线性变动的,目的也是希望输出是线性模型。(信号因子变异如非线性关系,还需线性变换)静态的目标值是一个.常数m,动态信号M如是线性关系,好比目标值M是一条直线。所有的线性假定是为了数学模型简便化。
田口动态表达式用线性回归函数模型太保守了,实际上如有三水平的正交试验数据,先做散布图,如是曲线状规律,可用Y=βM2 模型。
在实际计算时,可对非线性回归方程做线性化变换,最后再转换成非线性回归方程的参数。
而非线性回归模型才是真正的动态参数设计。
(六)
动、静态的关系
有些优秀文献,在回归直线图上画上几个“坚立”在Z轴方向上,立体的正态分布曲线,这种图形可把静态和动态模型联系起来。
这几个正态分布,从动态角度可以说是信号因子M输入的大小不同,引起产品对信号的响应的不同分布的表现。
从静态角度,是某因子的几个不同水平的质量特性值的分布。
所以笔者有种逆向思维:动态模型用静态方法。
用静态模型的好处是,这立体图上显示的回归线不一定是直线,如当某水平有抑制噪声作用的非线性关系时(稳健性设计就是寻找两者非线性关系。),成和X轴夹角有明显变化的折线。(也可理解为曲线的近似)
反之,如果动态模型建立于非线性回归模型,那么静态案例可用动态模型兼容运算。
(七)小结
稳健性设计是田口先生的伟大贡献,所以寻找稳健性水平的组合,需有科学的方法。
信噪比是寻找能抑制各种干扰的水平组合的一种测度,但不是唯一的方法。
田口的动态信噪比是真正符合信噪比概念的,但案例必需是呈线性关系。
田口静态信噪比表达式,不符合信噪比概念,本质是“稳定系数”的对数变换,也是一种可行的度量方法。
在可计算项目中,分布对目标值的方差σm2 ,即和目标值平均距离也是一种度量方法。
基于非线性关系是稳健性的数学背景,所以寻找曲线斜率最小处也是一种方法。
如等距三水平的正交试验,可建回归方程,如是非线性关系,可估计出曲线的拐点,可能是稳定性水平处。
更简单的是用水平均值趋势图:如等距三水平设计,水平均值坐标点连成的线段
如呈直线状,和目标值直线相交,是调整性因子。线段和X轴夹角变小成折线,是非线性稳定性因子。趋势图巳经可直观分辨出因子不同的功能,和可能最优的方向。
在折线中,线段夹角最小处附近,可能就是稳定性水平。二水平的可加上水平样本方差趋势图。
然后可用田口二步法,设计新的水平数,用下一轮正交试验逼出最优水平组合。



补充内容 (2012-6-25 09:57):
费歇创立的DOE是农业上应用,其方差分析、F检验均是非部分试验的正交试验为前提。到了工业正交试验时代多元性带来不可避免的交互作用的复杂性,使欧美学派建模法造成困难。
所以北大张里千为首中国学者点破了“窗户纸”:部分正交试验是非参数统计,用几次小正交试验可逼出多元非线性的最佳组合。
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