测量误差和数据处理

测量误差和数据处理（一） 测量与误差１． 测量在科学实验中，一切物理量都是通过测量得到的。所谓测量就是将待测物理量与规定作为标准单位的标准物理量通过一定的比较，其倍数即为待测物理量的测量值。测量按测量方式的不同分为直接测量和间接测量两类：①直接测量（简单测量）运用量具或仪表能直接得到物理量的数值，称为直接测量。例如，用米尺、游标卡尺、千分尺测量长度；用秒表测时间；用电流表测电路中的电流强度等。它的特点是：测量结果直接得到。②间接测量（复合测量）多数物理量，不便或不能直接测量。但是我们可以先对可直接测量的相关物理量进行测量，然后依据一定的函数关系，计算出待测的物理量，这称为间接测量。例如，要测量一圆柱体的体积Ｖ，可以先用米尺（或卡尺）对直径d和高度h进行直接测量，然后根据公式file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-16886.png计算出它的体积。当然一个物理量应直接测量还是间接测力测量，不使绝对的。要根据所有的仪器和测量方法来定。如上例中的圆柱体投入盛有一定量水的量筒中，从液面的上升即可直接得到体积。２． 真值和近似真值物质是客观存在的，有各种特性。反映物质特性的物理量在一定条件下，对应有一个确定的客观真实值。这个数值就称为真值。从测量者的主观愿望来说，总想测出物理量的真值。然而任何实际测量中是在一定环境下，用一定的仪器、一定的方法，由一定的人员完成的，由于周围环境不理想、测量方法不完善、仪器设备不精密，而且受到测量人员技术经验和能力等因素的限制，使任何测量都不会绝对精确。测量值与真值之间的差别，称为误差。任何测量都有误差，误差贯穿于测量的全过程。某一物理量的误差，定义为该量的测量值x与真值file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-21619.png之差，即： file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-14145.png由于真值测不出来，误差又不可避免，所以测量的目的硬是：在给定的条件下，求出被测量的最可信赖值，并对它的精确程度给予正确的估计。在我们的实验中，最可信赖值取多次测量的算术平均值，它是真值得最好近似，也称近似真值。用公式表示为 file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-22518.png３． 误差 测量数据的精确程度我们使用误差来描述。由于前边近似真值是采用多次测量的方法得出的，所以误差我们使用平均绝对误差。用公式表示为： file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-4774.png 至此，测量的结果可表示为 file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-25499.png 绝对误差反映测量精密度，但它反映不出测量的严重程度。例如，测量两个物体的长度，结果分别为 file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-10083.png 从绝对误差看，对两者的评价使相同的。但前者的误差占测量值的0.05％，后者则占5％。显然前者的相对精密度比后者高得多。因此，我们有必要引入相对误差：即 file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-19202.png％因此，我们测量结果的完整、正确表示应为 file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-6765.pngfile:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-10180.png％４． 误差的分类 在物理实验中，我们通常把误差分为系统误差、随机误差和粗大误差３大类。①系统误差实验系统的组成包括：实验仪器、环境、实验的理论和方法以及实验人员。由这四种组成所引起的有规律的误差称之为系统误差。a.仪器误差：又以其本身的固有缺陷、较正不完善或使用不当引起的。b.环境误差：仪器所处的外界环境如：温度、湿度、电磁场等环境的变化引发的误差。c.方法误差：由于计算公式的近似，没有完全满足理论公式所给定的条件。例如，单摆测重力加速度的实验中，公式file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-19879.png采用了file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-28729.png的近似条件。d.人员误差：由测量者的个人因素造成的误差。例如：按秒标时总是超前或滞后，读数时头总是向一边偏等。②随机误差 由某些偶然的、不确定的因素所造成的误差称之为随机误差。若从一次测量来看，随机误差是随机的，没有确定的规律，也不能预测。但当测量次数足够多时，随机误差遵从一定的统计分布。因此，增加测量的次数，可以明显的减少随机误差。③粗大误差（过失误差） 凡是明显歪曲测量结果，又无法根据测量的客观条件作出合理解释的误差，都称为粗大误差。产生粗大误差的原因是多方面。主要原因是观测者的缺乏经验、或过于疲劳而造成的。测错、读错、计错、算错等测量过失。此外，外界的突发性干扰使实验条件发生不能容许的偏离而未被发现等。５． 评价测量的结果①精密度：表示测量数据的集中程度。精密度高说明测量数据集中，随机误差小。②准确度：表示测量值与真值的符合程度。准确度高说明测量结果的近似真值与真值非常接近，系统误差小。③精确度：表示测量值与真值的一致程度。精确度高说明随机误差和系统误差都小。测量数据集中在真值附近。（二）有效数字及其运算 １．有效数字： 我们把测量结果中准确数和一位估计数合称为测量值的有效数字。比如说米尺，最小刻度是mm，如果测的某个物体长度为23.7mm，我们认为这三个数字是客观有效的数字。u “Ｏ”的特殊性：在一些测量结果中，往往包括若干个“Ｏ”，它算不算有效数字呢？这要具体分析。例如：0.05060千米，其中包括了四个“Ｏ”。中间的“Ｏ”为准确数字，最后的“Ｏ”为估计数。均为有效数字。而前面两个“Ｏ”，只起定位作用，不算有效数字。随着单位的变换，小数点的位置会发生相应变化。例如：0.05060千米＝50.60米＝5060厘米２．有效数字的科学表达方法 例如：296厘米＝2.96米＝2960毫米 前两个均为３位有效数字，第３个却为４为有效数字。这样的变换不符合有效数字的规则，应该为file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-4609.png毫米。这种表示方法比较科学，故称为科学计数法。它的具体要求是：整数部分只保留一位，且不能为“Ｏ”，其他数字均放在小数部分，然后乘以１０的幂，即：file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-32164.png（单位）３．有效数字与误差对于我们实验中用到的平均绝对误差、相对误差，要求有效数字保留一位。例如： file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-16252.png４．尾数的舍入法则（四舍六入奇凑偶）通常所用的尾数舍入法则是四舍五入。对于大量测量数据的运算来说，这样的舍入不是很合理的。因为总是入的概率大于舍的概率。现在通用的是：“尾数小于五则舍，大于五则入，等于五则把尾数凑成偶数”的法则，这种舍入法则使尾数入与舍的概率相等。例如：1.535 取三位有效数字位为 1.54 12.405 取四位有效数字位为 12.40５．有效数字的运算法则①加减法：运算结果保留的最后一位，应该是参与运算的各个有效数字均共有的那一位。例如：file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-17566.png file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-2663.png 记作：57.9 记作：72.26 ②乘除法：运算结果的有效数字位数，应与参与运算的各数中的有效数字位数最少的那个相同。例如：file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-23027.png file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-26440.pngfile:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-28496.png 记作：6.65 记作：173 ③幂运算：结果的有效数字位数与操作数的有效数字位数相同。 例如：file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-6992.png ④三角函数的有效数字位数一般取５位。⑤多步运算：在运算过程中，每步的结果应多保留一位有效数字，最后的结果再按照规定保留相应的有效数字位数。（三）数据处理 数据处理是实验不可缺少的一部分，对原始的实验数据进行归纳、分析、计算以便得出最后的结果。 数据处理的方法很多，这里将介绍列表法、图示法、图解法、逐差法。１． 列表法 制作一个二维表格，将实验中所测的数据分类填入并把一些间接测量值和相关运算填入即可。它的特点是：记录的数据一目了然，可以避免混乱、避免丢失。２． 图示法就是将两列数据之间的关系用图线表示出来，它简单、直观、所以是科学实验中最常用的数据处理方法。它的方法是：①划出坐标系，选取适当比例②标点，将测量数据在坐标图上以小“＋”“file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-3698.png”“⊙”等符号标出。不同的曲线用不同的符号标记数据。③连线，由于测量存在误差，所以曲线并不一定要通过所有的点，而是要求数据点均匀的分布在曲线两侧。３． 图解法它实际是图示法的应用。利用物理量之间的关系曲线，进一步求出其他物理量。４． 逐差法在有些测量中，其变量是等间距变化的。为了避免计算自变量变化的平均值时中间的自变量值互相抵消，保证多次测量的优越性，我们常采用逐差法。具体做法是：将测量得到的数据分成前后两组，将对应项相加，然后在求其平均值。例如：一般算法： file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-17753.pngfile:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-20146.png逐差法：file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-19369.pngfile:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-24620.png所以逐差法充分利用了每次的测量数据，达到了多次测量的目的。