不知道各位公司出现产品质量问题是由什么部门进行牵头改进及完善

我来回答一下吧，
在上家公司是汽车的一级供应商，当时质量部设有QE（9人）、SQE（7人）、QC（若干~检验员巨多）、实验室（四五个吧）   。           当时QE负责对接客户，也包含你问题中说的客诉时牵头内部进行质量改善，到客户端汇报改进进展；还会负责提交产品PPAP资料，反正与客户相关的基本都是QE
现在的公司，质量部跟客户对接的就一个小女孩，叫CS（customer severice）,技术部门人员相对较多，然后一般是收到客诉，CS赶紧告诉技术人员，技术人员分析、改善再汇总给CS，CS编写报告给客户（做技术的你懂得，不太善言辞，报告说服力不够）。
综上，你会不会觉得，干嘛不让CS去解决？ 答案是没那个能力呗，而且老板不让招那么多质量工程师呀~
综上的综上，没有所谓的该不该，都看高层怎么策划。高层考虑的一些东西我们可能理解不了，那么执行就行。
大部分公司都是高层设定的各部门职责，各部门经理又分配的各工程师职责~所以如果你实在憋不住想问，就先问问自己的直属领导。
其实开始我也很拧巴职责分配这件事（我做体系的，所有的事情基本都掺和一点），但是领导把我训了一顿之后就茅塞顿开了，拿钱干活，没有该不该干，只有让不让干！