相關與回歸分析

相關與回歸分析的基本概念
一、 函數關係與相關關係
客觀現象總是普遍聯繫和相互依存的。客觀現象之間的數量聯繫存在著兩種不同的類型：一種是函數關係；另一種是相關關係。
當一個或幾個變數取一定的值時，另一個變數有確定值與之相對應，我們稱這種關係爲確定性的函數關係。例如，某種商品的銷售收入Ｙ與該商品的銷售量Ｘ以及該商品價格Ｐ之間的關係可用Ｙ＝ＰＸ表示，這就是一種函數關係。一般把作爲影響因素的變數稱爲引數，把發生對應變化的變數稱爲因變數。在上例中，Ｙ是因變數，Ｐ與Ｘ則是引數。
當一個或幾個相互聯繫的變數取一定數值時，與之相對應的另一變數的值雖然不確定，但它仍按某種規律在一定的範圍內變化。 變數間的這種相互關係，稱爲具有不確定性的相關關係。例如，勞動生産率與工資水平的關係、投資額和國民收入的關係、商品流轉規模與流通費用的關係等等都屬於相關關係。
變數之間的函數關係和相關關係，在一定條件下是可以互相轉化的。本來具有函數關係的變數，當存在觀測誤差時，其函數關係往往以相關的形式表現出來。而具有相關關係的變數之間的聯繫，如果我們對它們有了深刻的規律性認識，並且能夠把影響因變數變動的因素全部納入方程，這時的相關關係也可能轉化爲函數關係。另外，相關關係也具有某種變動規律性，所以，相關關係經常可以用一定的函數形式去近似地描述。客觀現象的函數關係可以用數學分析的方法去研究，而研究客觀現象的相關關係必須借助於統計學中的相關與回歸分析方法。
二、相關關係的種類
　客觀現象的相關關係可以按不同的標誌加以區分。
　（一）按相關的程度可分爲完全相關、不完全相關和不相關。當一種現象的數量變化完全由另一個現象的數量變化所確定時，稱這兩種現象間的關係爲完全相關。例如在價格不變的條件下，某種商品的銷售總額與其銷售量總是成正比例關係。在這種場合，相關關係便成爲函數關係。因此也可以說函數關係是相關關係的一個特例。當兩個現象彼此互不影響，其數量變化各自獨立時，稱爲不相關現象。例如，通常認爲股票價格的高低與氣溫的高低是不相關的。兩個現象之間的關係介於完全相關和不相關之間，稱爲不完全相關，一般的相關現象都是指這種不完全相關。
（二）按相關的方向可分爲正相關和負相關。當一個現象的數量由小變大，另一個現象的數量也相應由小變大，這種相關稱爲正相關。例如工人的工資隨著勞動生産率的提高而增加。當一個現象的數量由小變大，而另一個現象的數量相反地由大變小，這種相關稱爲負相關。例如商品流轉的規模愈大，流通費用水平則愈低。
（三）按相關的形式可分爲線性相關和非線性相關。當兩種相關現象之間的關係大致呈現爲線性關係時，稱之爲線性相關。例如人均消費水平與人均收入水平通常成線性關係。如果兩種相關現象之間，並不表現爲直線的關係，而是近似於某種曲線方程的關係，則這種相關關係稱爲非線性相關。例如産品的平均成本與産品總產量之間的相關關係就是一種非線性相關。
（四）按所研究的變數多少可分爲單相關、複相關和偏相關。兩個現象的相關，即一個變數對另一個變數的相關關係，稱爲單相關。當所研究的是一個變數對兩個或兩個以上其他變數的相關關係時，稱爲複相關。例如，某種商品的需求與其價格水平以及人們收入水平之間的相關關係便是一種複相關。在某一現象與多種現象相關的場合，當假定其他變數不變時，其中兩個變數的相關關係稱爲偏相關。例如，在假定人們的收入水平不變的條件下，某種商品的需求與其價格水平的關係就是一種偏相關。　　
三、相關分析與回歸分析
　相關分析和回歸分析是研究現象之間相關關係的兩種基本方法。所謂相關分析，就是用一個指標來表明現象間相互依存關係的密切程度。所謂回歸分析，就是根據相關關係的的具體形態，選擇一個合適的數學模型，來近似地表達變數間的平均變化關係。
相關分析和回歸分析有著密切的聯繫，它們不僅具有共同的研究物件，而且在具體應用時，常常必須互相補充。相關分析需要依靠回歸分析來表明現象數量相關的具體形式，而回歸分析則需要依靠相關分析來表明現象數量變化的相關程度。只有當變數之間存在著高度相關時，進行回歸分析尋求其相關的具體形式才有意義。由於上述原因，回歸分析和相關分析在一些統計學的書籍中被合稱爲相關關係分析或廣義的相關分析。
但是，應當指出相關分析與回歸分析之間在研究目的和方法上是有明顯區別的。相關分析研究變數之間相關的方向和相關的程度。但是相關分析不能指出變數間相互關係的具體形式，也無法從一個變數的變化來推測另一個變數的變化情況。回歸分析則是研究變數之間相互關係的具體形式，它對具有相關關係的變數之間的數量聯繫進行測定，確定一個相關的數學運算式，根據這個數學方程式可以從已知量來推測未知量，從而爲估算和預測提供了一個重要的方法。因此，相關分析可以不必確定變數中哪個是引數，哪個是因變數，其所涉及的變數可以都是隨機變數。而回歸分析則必須事先研究確定具有相關關係的變數中哪個爲引數，哪個爲因變數。一般地說，回歸分析中因變數是隨機的，而把引數作爲研究時給定的非隨機變數。
相關與回歸分析可以加深人們對客觀現象之間相關關係的認識，因而是對客觀現象進行分析的有效方法。但是，它們也有一定的局限性。現象之間是否存在“真實相關”，是由現象的內在聯繫所決定的。相關分析和回歸分析只是定量分析的手段。通過相關與回歸分析雖然可以從數量上反映現象之間的聯繫形式及其密切程度，但是無法準確地判斷現象內在聯繫的有無，也無法單獨以此來確定何種現象爲因，何種現象爲果。內在聯繫的判斷和因果關係的確定，必須以經濟理論爲指導，結合專業知識和實際經驗進行分析研究，才能正確解決。對沒有內在聯繫的事物進行相關和回歸分析，不但沒有意義，反而會導致荒謬的結論。因此在應用這兩種方法對客觀現象進行研究時，一定要始終注意把定性分析和定量分析結合起來，在定性分析的基礎上開展定量分析。
對於相關分析和回歸分析，既可以從描述統計的角度也可以從推斷統計的角度來說明。本章採用了後一種方式。這不僅是因爲後者可以將前者的內容包含在內，而且還因在有關現實經濟和管理問題的定量分析中，作爲推斷統計的相關分析與回歸分析更加具有廣泛的應用價值。
四、相關表和相關圖
相關表和相關圖是研究相關關係的直觀工具。一般在進行詳細的定量分析之前，可以先利用它們對現象之間存在的相關關係的方向、形式和密切程度作大致的判斷。
相關表是一種反映變數之間相關關係的統計表。將某一變數按其取值的大小排列，然後再將與其相關的另一變數的對應值平行排列，便可得到簡單的相關表。